ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB•BC=6，AB与BC的夹角为θ．（1）求θ的取值范围．（2）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的

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ABC的面积S满足3≤S≤3，且AB•BC=6，AB与BC的夹角为θ．（1）求θ的取值范围．（2）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的

题型：不详难度：来源：
ABC的面积S满足


3
≤S≤3，且


AB
•


BC
=6，AB与BC的夹角为θ．
（1）求θ的取值范围．
（2）求函数f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ的最小值．
答案
（1）由题意知：


AB
•


BC
=|


AB
||


BC
|cosθ=6，①
S=
1
2
|


AB
||


BC
|sin（π-θ）
=
1
2
|


AB
||


BC
|sinθ，②
②÷①得
S
6
=
1
2
tanθ，即3tanθ=S．
由


3
≤S≤3，得


3
≤3tanθ≤3，即


3
3
≤tanθ≤1．
又θ为


AB
与


BC
的夹角，
∴θ∈[0，π]，∴θ∈[
π
6
，
π
4
]．
（2）f（θ）=sin2θ+2sinθcosθ+3cos2θ
=1+sin2θ+2cos2θ
=2+sin2θ+cos2θ
=2+


2
sin（2θ+
π
4
）．
∵θ∈[
π
6
，
π
4
]，∴2θ+
π
4
∈[
7π
12
，
3π
4
]．
∴当2θ+
π
4
=
3π
4
，θ=
π
4
时，f（θ）取最小值3．
举一反三
设双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1的右准线与两条渐近线交于A、B两点，右焦点为F，且


FA
•


FB
=0，那么双曲线的离心率为______．
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设F1、F2为椭圆的左右焦点，过椭圆
x2
25
+
y2
16
=1的中心任作一直线与椭圆交于PQ两点，当四边形PF1QF2面积最大时，


PF1
•


PF2
的值等于______．
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已知△ABC中，点A（3，0），B（0，3），C（rcosα，rsinα）（r＞0）．
（1）若r=1，且


AC
•


BC
=-1，求sin2a的值；
（2）若r=3，且∠ABC=60°，求AC的长度．
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已知双曲线的中心在原点，两个焦点为F1(-


5
，0)和F2(


5
，0)，P在双曲线上，满足


PF1
•


PF2
=0且△F1PF2的面积为1，则此双曲线的方程是______．
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已知△ABC中AC=4，AB=2若G为△ABC的重心，则


AG
•


BC
=______．
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