设△ABC，P0是边AB上一定点，满足P0B=14AB，且对于边AB上任一点P，恒有PB•PC≥P0B •P0C 则（　　）A．∠ABC=90°B．∠BAC=9

题型：浙江难度：来源：

设△ABC，P₀是边AB上一定点，满足P0B=

1

4

AB，且对于边AB上任一点P，恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

则（　　）

A．∠ABC=90°

B．∠BAC=90°

C．AB=AC

D．AC=BC

答案

以AB所在的直线为x轴，以AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设AB=4，C（a，b），P（x，0）
则BP₀=1，A（-2，0），B（2，0），P₀（1，0）
∴

P0B

=（1，0），

PB

=（2-x，0），

PC

=（a-x，b），

P0C

=（a-1，b）
∵恒有

PB

•

PC

≥

P0B

•

P0C

∴（2-x）（a-x）≥a-1恒成立
整理可得x²-（a+2）x+a+1≥0恒成立
∴△=（a+2）²-4（a+1）≤0
即△=a²≤0
∴a=0，即C在AB的垂直平分线上
∴AC=BC
故△ABC为等腰三角形
故选D