已知A,B,C均在椭圆M:x2a2+y2=1(a>1)上,直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2,当AC•F1F2=0时,有9AF1•AF2=AF12.(

已知A,B,C均在椭圆M:x2a2+y2=1(a>1)上,直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2,当AC•F1F2=0时,有9AF1•AF2=AF12.(

题型:广元二模难度:来源:
已知A,B,C均在椭圆M:
x2
a2
+y2=1(a>1)
上,直线AB、AC分别过椭圆的左右焦点F1、F2,当


AC


F1F2
=0
时,有9


AF1


AF2
=


AF1
2

(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设是椭圆M上的任一点,EF为圆N:x2+(y-2)2=1的任一条直径,求


PE


PF
的最大值.
答案
(Ⅰ)因为


AC


F1F2
=0
,所以有


AC


F1F2

所以△AF1F2为直角三角形;
|


AF1
|cos∠F1AF2=|


AF2
|

则有9


AF1


AF2
=9|


AF1
||


AF2
|cos∠F1AF2=9|


AF2
|2=


AF1
2
=|


AF1
|2

所以,|


AF1
|=3|


AF2
|

|


AF1
|+|


AF2
|=2a

|


AF1
|=
3a
2
,|


AF2
|=
a
2

在△AF1F2中有|


AF1
|2=|


AF2
|2+|


F1F 2
|2

(
3a
2
)2=(
a
2
)2+4(a2-1)
,解得a2=2
所求椭圆M方程为
x2
2
+y2=1


(Ⅱ)由题意可知N(0,2),E,F关于点N对称,
设E(x0,y0),则F(-x0,4-y0)有x02+(y0-2)2=1


PE


PF
=x2-x02+4y0-4y-y02+y2=x2+2y2-(x02+(y0-2)2)-y2+4-4y=-(y+2)2+9
P是椭圆M上的任一点,y∈[-1,1],
所以当y=-1时,


PE


PF
的最大值为8.
举一反三
在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内两点G、M同时满足①


GA
+


GB
+


GC
=


0
,②|


MA
|
=|


MB
|
=|


MC
|
,③


GM


AB

(1)求顶点C的轨迹E的方程
(2)设P、Q、R、N都在曲线E上,定点F的坐标为(


2
,0),已知


PF


FQ


RF


FN


PF


RF
=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
题型:浙江模拟难度:| 查看答案
向量


a
=(cos23°,cos67°),


b
=(cos68°,cos22°),


u
=


a
+t


b
(t∈R).
(1)求


a


b

(2)求


u
的模的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案


e1


e2
是互相垂直的单位向量,且


a
=3


e1
十2


e2


b
=-3


e1
十4


e2
,则


a


b
等于(  )
A.1B.-1C.2D.-2
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,若∠C=90°,AC=BC=4,则


BA


BC
=______.
题型:上海难度:| 查看答案
设F1,F2为椭圆
x2
4
+y2=1
的两个焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时,则


PF1


PF2
的值是(  )
A.0B.1C.2D.I
题型:黄埔区一模难度:| 查看答案
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