在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内两点G、M同时满足①GA+GB+GC=0,②|MA|=|MB|=|MC|,③GM∥AB(

在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内两点G、M同时满足①GA+GB+GC=0,②|MA|=|MB|=|MC|,③GM∥AB(

题型:浙江模拟难度:来源:
在直角坐标平面中,△ABC的两个顶点为A(0,-1),B(0,1)平面内两点G、M同时满足①


GA
+


GB
+


GC
=


0
,②|


MA
|
=|


MB
|
=|


MC
|
,③


GM


AB

(1)求顶点C的轨迹E的方程
(2)设P、Q、R、N都在曲线E上,定点F的坐标为(


2
,0),已知


PF


FQ


RF


FN


PF


RF
=0.求四边形PRQN面积S的最大值和最小值.
答案
(1)设C(x,y),


GA
+


GB
=2


GO

由①知


GC
=2


GO

∴G为△ABC的重心,
∴G(
x
3
y
3

由②知M是△ABC的外心,
∴M在x轴上.
由③知M(
x
3
,0),
|


MC
|=|


MA
|



(
x
3
)
2
+1
=


(x-
x
3
)
2
+y2

化简整理得:
x2
3
+y2=1
(x≠0)
(2)F(


2
,0)恰为
x2
3
+y2=1
的右焦点
设PQ的斜率为k≠0且k≠±


2
2

则直线PQ的方程为y=k(x-


2






y=k(x-


2
)
x2+3y2-3=0
⇒(3k2+1)x2-6


2
k2x+6k2-3=0

设P(x1,y1),Q(x2,y2
则x1+x2=
6


2
k2
3k2+1
,x1•x2=
6k2-3
3k2+1

则|PQ|=


1+k2


(x1+x2)2-4x1x2

=


1+k2


(
6


2
k2
3k2+1
)
2
-4•
6k2-3
3k2+1

=
2


3
(k2+1)
3k2+1

∵RN⊥PQ,把k换成-
1
k

得|RN|=
2


3
(k2+1)
3+k2

∴S=
1
2
|PQ|•|RN|
=
6(k2+1)2
(3k2+1)(k2+3)
=2-
8
3(k2+
1
k2
)+10

3(k2+
1
k2
)+10=
8
2-S
k2+
1
k2
≥2,
8
2-S
≥16,
3
2
≤S<2,(当k=±1时取等号)
又当k不存在或k=0时S=2
综上可得
3
2
≤S≤2,
∴Smax=2,Smin=
3
2
举一反三
向量


a
=(cos23°,cos67°),


b
=(cos68°,cos22°),


u
=


a
+t


b
(t∈R).
(1)求


a


b

(2)求


u
的模的最小值.
题型:不详难度:| 查看答案


e1


e2
是互相垂直的单位向量,且


a
=3


e1
十2


e2


b
=-3


e1
十4


e2
,则


a


b
等于(  )
A.1B.-1C.2D.-2
题型:不详难度:| 查看答案
在△ABC中,若∠C=90°,AC=BC=4,则


BA


BC
=______.
题型:上海难度:| 查看答案
设F1,F2为椭圆
x2
4
+y2=1
的两个焦点,P在椭圆上,当△F1PF2面积为1时,则


PF1


PF2
的值是(  )
A.0B.1C.2D.I
题型:黄埔区一模难度:| 查看答案
下面给出的关系式中正确的个数是(  )


0


a
=


0
 


a


b
=


b


a
 


a
2
=|


a
|2
 
(


a


b
)


c
=


a
(


b


c
)
   
|


a


b
|≤


a


b
A.0B.1C.2D.3
题型:不详难度:| 查看答案
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