如图：已知椭圆（a＞b＞0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且，（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若AB上的一点F满足，求证：CF平分∠BCA。

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如图：已知椭圆（a＞b＞0），A（2，0）是长轴的一个端点，弦BC过椭圆的中心O，且
，
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）若AB上的一点F满足，求证：CF平分∠BCA。

答案

（Ⅰ）解：∵，
∴，∠ACB=90°，
又，即，
∴△AOC是等腰直角三角形，
∵A（2，0），
∴C（1，1）而点C在椭圆上，
∴，∴，
∴所求椭圆方程为；
（Ⅱ）证明：由（Ⅰ），得C（1，1），B（-1，-1），
又，
即，
即点F分所成的定比为2，
设F（x₀，y₀），
，
∴，CF⊥x轴，
∴∠ACF=∠FCB=45°，即CF平分∠BCA。