已知动圆过定点A(2,0),且与直线X=-2相切.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程;(2)是否存在过点(0,1)的直线l,与轨迹C交于P,Q两点,且以线段PQ为直
题型:永州一模难度:来源:
已知动圆过定点A(2,0),且与直线X=-2相切. (1)求动圆圆心的轨迹C的方程; (2)是否存在过点(0,1)的直线l,与轨迹C交于P,Q两点,且以线段PQ为直径的圆过定点A?若存在,求出直线l的方程;若不存在,说明理由. |
答案
(1)由题意可知,圆心到定点A(2,0)的距离与到定直线X=-2的距离相等, 由抛物线定义可知,轨迹C为以A(2,0)为焦点,X=-2为准线的抛物线, ∴p=2,∴抛物线方程为y2=8x …(4分) (2)假设存在直线l符合题意.…(5分) 由题意易知,直线l的斜率k存在且不为零, 又因过点(0,1),故设直线l的方程为y=kx+1,…(6分) 联立直线与抛物线方程得,消元整理得k2x2+(2k-8)x+1=0, 设交点坐标为P(x1,y1),Q(x2,y2),则△=(2k-8)2-4k2>0,∴k<2 ① 且x1+x2=-,x1x2=; …(9分) ∴•=(x1-2,y1)•(x2-2,y2)=(k2+1)x1x2+(k-2)(x1+x2)+5 =(k2+1)•+(k-2)•(-)+5==0 ∴k=-±符合①,…(12分) 所以存在符合题意的直线l,其方程为y=(-±)x+1.…(13分) |
举一反三
已知圆C:(x+1)2+y2=25及点A(1,0),Q为圆上一点,AQ的垂直平分线交CQ于M,则点M的轨迹方程为______. |
过点P(3,4)的动直线与两坐标轴的交点分别为A,B,过A,B分别作两坐标轴的垂线交于点M,则点M的轨迹方程为______. |
已知p>0,动点M到定点F(, 0)的距离比M到定直线l:x=-p的距离小. (I)求动点M的轨迹C的方程; (Ⅱ)设A,B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,•=0,求△AOB面积的最小值; (Ⅲ)在轨迹C上是否存在两点P,Q关于直线m:y=k(x-)(k≠0)对称?若存在,求出直线m的方程,若不存在,说明理由. |
已知两定点A(-4,0)、B(4,0),一动点P(x,y)与两定点A、B的连线PA、PB的斜率的乘积为-,求点P的轨迹方程,并把它化为标准方程,指出是什么曲线. |
已知动圆M过定点F(2,0),且与直线x=-2相切,动圆圆心M的轨迹为曲线C (1)求曲线C的方程 (2)若过F(2,0)且斜率为1的直线与曲线C相交于A,B两点,求|AB| |
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