试题分析:本题主要考查圆的标准方程和几何性质、直线的方程、向量的点乘、平面内两点间距离公式、点到直线的距离等基础知识.考查数形结合的数学思想.考查运算求解能力、综合分析和解决问题的能力.第一问,利用两个点关于直线对称,列出方程组,解出,即得到圆心坐标,再利用点到直线的距离求半径,写出圆的方程,利用向量的点乘列出式子,数形结合找出最小值;第二问,利用直线与圆的位置关系列出方程,得出两点的横坐标,利用斜率公式写出式子,判断两个斜率是否相等. 试题解析:(Ⅰ)设圆心,则中点坐标为, 1分 ∵圆心与点关于直线对称, ∴,解得, 3分 ∴圆心到直线的距离, 4分 ∴求圆的方程为. 5分 设,则, ∴, 6分 作直线:,向下平移此直线,当与圆相切时取得最小值,这时切点坐标为, 所以·的最小值为-4. 8分 (Ⅱ)由题意知,直线和直线的斜率存在,且互为相反数,故可设:, :,由,得. 因为点的横坐标一定是该方程的解,故可得,同理,, 则. 所以,直线和一定平行. 14分 |