如图所示，在中，，，N在y轴上，且，点E在x轴上移动．（Ⅰ）求点M的轨迹方程；（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，与点M的轨迹交于点A、B，与点M的轨迹交于点C、D

题型：不详难度：来源：

如图所示，在中，，，N在y轴上，且，点E在x轴上移动．
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过点作互相垂直的两条直线，与点M的轨迹交于点A、B，与点M的轨迹交于点C、D，求的最小值．

答案

（Ⅰ）设 ，，则，
且，即
∴， 所以点F的轨迹方程为．（）   （6分）
（Ⅱ）设，，，，
直线的方程为：，，则直线的方程为
由得：；
则同理可得：
∵

，当且仅当时，取等号．
∴的最小值为12．  

解析

(I)设M（x,y），然后对向量条件坐标化再化简即可得到所求M的轨迹方程.
（II）设，，，，，
然后再利用直线的方程分别与M的轨迹方程联立，消去x,代入上式即可得到关于k的函数关系式，进而利用函数的方法求其最小值