(1)设M(x,y),由题设可得A(2,0),B(2,1),C(0,1) ∴=(x,y),=(x-2,y),=(x,y-1),=(x-2,y-1),d=|y-1|, 因•=k(•-d2) ∴(x,y)•(x-2,y)= k[(x,y-1)•(x-2,y-1)-|y-1|2] 即(1-k)(x2-2x)+y2=0为所求轨迹方程. 当k=1时,y=0,动点M的轨迹是一条直线; 当k=0时,x2-2x+y2=0,动点M的轨迹是圆; 当k≠1时,方程可化为(x-1)2+=1,当k>1时,动点M的轨迹是双曲线; 当0<k<1或k<0时,动点M的轨迹是椭圆. (2)当k=时,M的轨迹方程为(x-1)2+=1,.得:0≤x≤2,y2=-(x-1)2. ∵|+2|2=|(x,y)+2(x-2,y)|2=|(3x-4,3y)|2 =(3x-4)2+9y2=(3x-4)2+9[-(x-1)2] =(x-)2+. ∴当x=时,|+2|2取最小值 当x=0时,|+2|2取最大值16. 因此,|+2|的最小值是,最大值是4. (3)由于≤e≤,即e<1,此时圆锥曲线是椭圆,其方程可化为(x-1)2+=1, ①当0<k<1时,a2=1,b2=1-k,c2=1-(1-k)=k,e2==k,∵≤e≤,∴≤k≤; ②当k<0时,a2=1-k,b2=1,c2=(1-k)-1=-k,e2===,∵≤e≤,∴≤≤,而k<0得,-1≤k≤-. 综上,k的取值范围是[-1,-]∪[,]. |