如图,已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6,|FG|=10,且2EH=EG,HP•GE=0(G为动点,P是HP和GF的交点).(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系
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如图,已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6,|FG|=10,且2EH=EG,HP•GE=0(G为动点,P是HP和GF的交点).(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系
题型:武昌区模拟
难度:
来源:
如图,已知E、F为平面上的两个定点|EF|=6,|FG|=10,且
2
EH
=
EG
,
HP
•
GE
=0
(G为动点,P是HP和GF的交点).
(Ⅰ)建立适当的平面直角坐标系求出点P的轨迹方程;
(Ⅱ)若点P的轨迹上存在两个不同的点A、B,且线段AB的中垂线与直线EF相交于一点C,证明|OC|<
9
5
(O为EF的中点).
答案
(Ⅰ)以EF所在的直线为x轴,EF的中垂线为y轴,建立平面直角坐标系.
由题设
2
EH
=
EG
,
HP
•
EG
=0
,
∴|PG|=|PE|,而|PF|+|PE|=|PG|=2a.
∴点P是以E、F为焦点、长轴长为10的椭圆.
故点P的轨迹方程是
x
2
25
+
y
2
16
=1
.…(4分)
(Ⅱ)设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
0
,0).
∴x
1
≠x
2
,且|CA|=|CB|,即(x
1
-x
0
)
2
+y
1
2
=(x
2
-x
0
)
2
+y
2
2
.
又A、B在轨迹上,∴
x
1
2
25
+
y
1
2
16
=1
,
x
2
2
25
+
y
2
2
16
=1
.
即
y
1
2
=16-
16
25
x
1
2
,
y
2
2
=16-
16
25
x
2
2
.
代入整理,得
2(
x
2
-
x
1
)•
x
0
=
9
25
(
x
2
2
-
x
1
2
)
.
∵x
1
≠x
2
,∴
x
0
=
9(
x
1
+
x
2
)
50
.
∵-5≤x
1
≤5,-5≤x
2
≤5,∴-10≤x
1
+x
2
≤10.
∵x
1
≠x
2
,∴-10<x
1
+x
2
<10.
∴
-
9
5
<
x
0
<
9
5
,即|OC|<
9
5
.…(13分)
举一反三
如果正△ABC中,D∈AB,E∈AC,向量
DE
=
1
2
BC
,那么以B,C为焦点且过点D,E的双曲线的离心率是______.
题型:不详
难度:
|
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Rt△ABC中,AB为斜边,
AB
•
AC
=9,S
△ABC
=6,设P是△ABC(含边界)内一点,P到三边AB,BC,AC的距离分别为x,y,z,则x+y+z的取值范围是______.
题型:不详
难度:
|
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平面内给定三个向量
a
=(3,2),
b
=(-1,2),
c
=(a,1).
(1)求向量3
a
+
b
-2
c
的坐标;
(2)若(
a
+k
c
)
∥
(2
b
-
a
),求实数k的值;
(3)设
d
=(p,0),且(
a
+
b
)⊥(
d
-
c
),求
d
.
题型:不详
难度:
|
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如图,点B在以PA为直径的圆周上,点C在线段AB上,已
PA=5,PB=3,PC=
15
2
7
,设∠APB=α,∠APC=β,α,β均为锐角.
(1)求β;
(2)求向量
AC
,
PC
的数量积
AC
•
PC
的值.
题型:南京模拟
难度:
|
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已知平面向量
a
,
b
,
c
满足
a
+
b
+
c
=
0
,且
a
与
b
的夹角为135°,
c
与
b
的夹角为120°,
|
c
|=2
,则
|
a
|
=______.
题型:不详
难度:
|
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