如图,在四棱锥P­ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一点.(1)求证:AC⊥DE;(2)已知二面角A­PB

如图,在四棱锥P­ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一点.(1)求证:AC⊥DE;(2)已知二面角A­PB

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P­ABCD中,PD⊥平面ABCD,四边形ABCD是菱形,AC=2,BD=2,E是PB上任意一点.
(1)求证:AC⊥DE;
(2)已知二面角A­PB­D的余弦值为,若E为PB的中点,求EC与平面PAB所成角的正弦值.

答案
(1)证明见解析;(2)
解析

试题分析:
解题思路:(1)利用线面垂直的性质推得线线垂直:(2)建立空间坐标系,利用二面角A­PB­D的余弦值为,求出PD;进而利用空间向量求线面角的正弦值.
规律总结:对于空间几何体中的垂直、平行关系的判定,要牢牢记住并灵活进行转化,线线关系是关键;涉及夹角、距离问题以及开放性问题,要注意利用空间直角坐标系进行求解.
试题解析:(1)证明:∵PD⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,
∴PD⊥AC,
∵四边形ABCD是菱形,∴BD⊥AC,
又BD∩PD=D,∴AC⊥平面PBD,
∵DE⊂平面PBD,∴AC⊥DE.
(2)在△PDB中,EO∥PD,∴EO⊥平面ABCD,分别以OA,OB,OE所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,设PD=t,则A(1,0,0),B(0,,0),C(-1,0,0),,P(0,-,t),=(-1,,0),=(-1,-,t).

由(1)知,平面PBD的一个法向量为n1=(1,0,0),设平面PAB的法向量为n2=(x,y,z),则根据,
,令y=1,得平面PAB的一个法向量为
∵二面角A­PB­D的余弦值为
则|cos〈n1,n2〉|=,即
,解得t=2或t=-2 (舍去),
∴P(0,-,2).
设EC与平面PAB所成的角为θ,
=(-1,0,-),n2=(,1,1),
则sin θ=|cos〈,n2〉|=
∴EC与平面PAB所成角的正弦值为.
举一反三
已知则 ( )
A.B.C.D.

题型:单选题难度:简单| 查看答案
已知有限集.如果中元素满足,就称为“复活集”,给出下列结论:
①集合是“复活集”;
②若,且是“复活集”,则
③若,则不可能是“复活集”;
④若,则“复合集”有且只有一个,且
其中正确的结论是           .(填上你认为所有正确的结论序号).
题型:填空题难度:一般| 查看答案
已知集合.
(1)若= 3,求
(2)若,求实数的取值范围.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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;②;③;④有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组的个数是_________.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
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