如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面,,为上一点,且.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.

如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面,,为上一点,且.(1)求的长;(2)求二面角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥中,底面是以为中心的菱形,底面上一点,且.
(1)求的长;
(2)求二面角的正弦值.

答案
(1);(2).
解析

试题分析:(1)连结,因为是菱形的中心,,以为坐标原点,的方向分别为轴、轴、轴的正方向,建立空间直角坐标系,根据题设条件写出的坐标,并设出点的坐标,根据空间两点间的距离公式和勾股定理列方程解出的值得到的长;.
(2)设平面的法向量为,平面PMC的法向量为,首先利用向量的数量积列方程求出向量的坐标,再利用向量的夹角公式求出,进而求出二面角的正弦值.
解:

(1)如图,连结,因为菱形,则,且,以为坐标原点,的方向分别为轴,轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系
,故
所以
知,
从而,即
,则因为
,所以(舍去),即.
(2)由(1)知,,
设平面的法向量为,平面的法向量为
故可取
故可取
从而法向量的夹角的余弦值为
故所求二面角的正弦值为.
举一反三
已知向量=(2,4,5),=(3,x,y),若,则(  )
A.x=6,y=15B.x=3,y=
C.x=3,y=15D.x=6,y=

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已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1的中心,若+x+y,则x、y的值分别为(  )
A.x=1,y=1B.x=1,y=
C.x=,y=D.x=,y=1

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已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列点P中,在平面α内的是(  )
A.(1,-1,1)B.(1,3,)
C.(1,-3,)D.(-1,3,-)

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△ABC的顶点分别为A(1,-1,2),B(5,-6,2),C(1,3,-1),则AC边上的高BD等于(  )
A.5B.C.4D.2

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如图所示,已知空间四边形OABC中,|OB|=|OC|,且∠AOB=∠AOC,则夹角θ的余弦值为(  )
A.0B.C.D.

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