试题分析:(1)直线和平面所成的角以及二面角的计算,可以考虑两种方法,其一利用传统立体几何的方法,由已知得,,又,故面,则,由平面,,故,则,然后分别在直角三角形中,求,或者可以建立空间直角坐标系,通过平面的法向量和直线的方向向量求直线和平面所成的角,利用两个半平面的法向量来求二面角的大小;(2)建立空间直角坐标系,设点,并求出半平面的法向量,利用和法向量垂直,列等式,即可求解.
试题解析:解法一:(1)证明: 又 1分 又平面,,面 2分 ∴ 3分 , 5分 6分 (2)取的中点,连交于,由与相似得,, 7分 在上取点,使,则, 8分 在上取点使,由于平行且等于, 故有平行且等于, 9分 四边形为平行四边形,所以, 10分 而, 故有∥平面, 11分 所以在线段上存在一点使得∥平面,的长为. 12分
解法二:(1)同解法一; (2)如图,以为原点,所在直线分别为轴,建立直角坐标系,则,为的中点,则 7分 假设存在符合条件的点,则共面, 故存在实数,使得 9分 即,故有即 11分 即存在符合条件的点,的长为. 12分 |