(1)以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191105/20191105113110-75762.jpg) 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),D(1,1,0),A1(0,0,4),C1(0,2,4),所以 =(2,0,-4), =(1,-1,-4). 因为cos〈 , 〉= = ,所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为 . (2)设平面ADC1的法向量为n1=(x,y,z), 因为 =(1,1,0), =(0,2,4),所以n1· =0,n1· =0,即x+y=0且y+2z=0, 取z=1,得x=2,y=-2,所以,n1=(2,-2,1)是平面ADC1的一个法向量. 取平面AA1B的一个法向量为n2=(0,1,0), 设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为θ. 由|cosθ|= = ,得sinθ= . 因此,平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为 . |