已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1、F2,上顶点M(0,b),△MF1F2为正三角形且周长为6,直线l:x=my+4与椭
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已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F1、F2,上顶点M(0,b),△MF1F2为正三角形且周长为6,直线l:x=my+4与椭
题型:不详
难度:
来源:
已知椭圆C:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0),左、右两个焦点分别为F
1
、F
2
,上顶点M(0,b),△MF
1
F
2
为正三角形且周长为6,直线l:x=my+4与椭圆C相交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)求
OA
•
OB
的取值范围.
答案
(Ⅰ)∵上顶点M(0,b),△MF
1
F
2
为正三角形且周长为6,
∴a=2,c=1,b=
3
,
∴椭圆的方程为
x
2
4
+
y
2
3
=1
;
(Ⅱ)直线l:x=my+4代入椭圆方程,得(3m
2
+4)y
2
+24my+36=0,
由△=(24m)
2
-4×36×(3m
2
+4)>0
可得m
2
>4.
设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),
则y
1
+y
2
=-
24m
3
m
2
+4
,y
1
y
2
=
36
3
m
2
+4
∴
OA
•
OB
=x
1
x
2
+y
1
y
2
=(m
2
+1)y
1
y
2
+4m(y
1
+y
2
)+16=-4+
116
3
m
2
+4
,
∵m
2
>4,
∴3m
2
+4>16,
∴
OA
•
OB
∈(-4,
13
4
).
举一反三
设双曲线C的中心在原点,焦点在x轴上,离心率为2,其一个顶点的坐标是
(
1
3
,0)
;又直线l:y=kx+1与双曲线C相交于不同的A、B两点.
(Ⅰ)求双曲线C的标准方程;
(Ⅱ)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆过坐标的原点?若存在,求出k的值;若不存在,写出理由.
题型:不详
难度:
|
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已知三角形△ABC的两顶点为B(-2,0),C(2,0),它的周长为10,求顶点A轨迹方程.
题型:不详
难度:
|
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如图,已知椭圆C:
x
2
+
y
2
a
2
=1(a>1)
的离心率为e,点F为其下焦点,点O为坐标原点,过F的直线l:y=mx-c(其中
c=
a
2
-1
)与椭圆C相交于P,Q两点,且满足:
OP
•
OQ
=
a
2
(
c
2
-
m
2
)-1
2-
c
2
.
(Ⅰ)试用a表示m
2
;
(Ⅱ)求e的最大值;
(Ⅲ)若
e∈(
1
3
,
1
2
)
,求m的取值范围.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆C:3x
2
+y
2
=12,直线x-y-2=0交椭圆C于A,B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的焦点坐标及长轴长;
(Ⅱ)求以线段AB为直径的圆的方程.
题型:不详
难度:
|
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已知椭圆M:
x
2
a
2
+
y
2
b
2
=1(a>b>0)
经过如下五个点中的三个点:
P
1
(-1,-
2
2
)
,P
2
(0,1),
P
3
(
1
2
,
2
2
)
,
P
4
(1,
2
2
)
,P
5
(1,1).
(Ⅰ)求椭圆M的方程;
(Ⅱ)设点A为椭圆M的左顶点,B,C为椭圆M上不同于点A的两点,若原点在△ABC的外部,且△ABC为直角三角形,求△ABC面积的最大值.
题型:不详
难度:
|
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