在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角.(1)若D为侧棱SB上一点,当为何值时,CD⊥
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在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角.(1)若D为侧棱SB上一点,当为何值时,CD⊥
题型:不详
难度:
来源:
在三棱锥SABC中,底面是边长为2
的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角.
(1)若D为侧棱SB上一点,当
为何值时,CD⊥AB;
(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.
答案
(1)
(2)
解析
以O点为原点,OB为x轴,OC为y轴,OS为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.
由题意知∠SBO=45°,SO=3.O(0,0,0),C(0,
,0),A(0,-
,0),S(0,0,3),B(3,0,0).
(1)设
=λ
(0≤λ≤1),则
=(1+λ)
+λ
=(3(1+λ),0,3λ),
所以
=(3(1-λ),-
,3λ).
因为
=(3,
,0),CD⊥AB,所以
·
=9(1-λ)-3=0,解得λ=
.
故
时,CD⊥AB.
(2)平面ACB的法向量为
n
1
=(0,0,1),设平面SBC的法向量
n
2
=(x,y,z),则
n
2
·
=0,
n
2
·
=0,则
解得
取
n
2
=(1,
,1),
所以cos〈
n
1
,
n
2
〉=
=
.
又显然所求二面角的平面角为锐角,故所求二面角的余弦值的大小为
.
举一反三
在直四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AA
1
=2,底面是边长为1的正方形,E、F分别是棱B
1
B、DA的中点.
(1)求二面角D
1
-AE-C的大小;
(2)求证:直线BF∥平面AD
1
E.
题型:不详
难度:
|
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三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A
1
A=3.D是BC的中点.
(1)求直线DB
1
与平面A
1
C
1
D所成角的正弦值;
(2)求二面角B
1-
A
1
D-C
1
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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在空间直角坐标系O-
xyz
中,平面OAB的法向量为
=(2, –2, 1), 已知P(-1, 3, 2),则P到平面OAB的距离等于 ( )
A.4
B.2
C.3
D.1
题型:不详
难度:
|
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如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB⊥AC,D、E分别为AA
1
、B
1
C的中点,DE⊥平面BCC
1
(1)证明:AB=AC
(2)设二面角A-BD-C为60°,求B
1
C与平面BCD所成的角的大小
题型:不详
难度:
|
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