如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)
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如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙)
题型:不详
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来源:
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
答案
(1)见解析(2)
(3)-
解析
(1)∵平面ABD⊥平面BDC,又∵AB⊥BD,∴AB⊥平面BDC,故AB⊥DC,又∵∠C=90°,∴DC⊥BC,BC
ABC平面ABC,DC
平面ABC,故DC⊥平面ABC.
(2)如图,以B为坐标原点,BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示,设CD=a,则BD=AB=2a,BC=
a,AD=2
a,可得B(0,0,0),D(2a,0,0),A(0,0,2a),C
,F(a,0,a),
∴
=
,
=(a,0,a).
设BF与平面ABC所成的角为θ,由(1)知DC⊥平面ABC,
∴cos
=
=
=
,∴sinθ=
.
(3)由(2)知FE⊥平面ABC,又∵BE
平面ABC,AE
平面ABC,∴FE⊥BE,FE⊥AE,
∴∠AEB为二面角B-EF-A的平面角.
在△AEB中,AE=BE=
AC=
a,
∴cos∠AEB=
=-
,即所求二面角B-EF-A的余弦为-
.
举一反三
在空间直角坐标系O-
xyz
中,平面OAB的法向量为
=(2, –2, 1), 已知P(-1, 3, 2),则P到平面OAB的距离等于 ( )
A.4
B.2
C.3
D.1
题型:不详
难度:
|
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如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB⊥AC,D、E分别为AA
1
、B
1
C的中点,DE⊥平面BCC
1
(1)证明:AB=AC
(2)设二面角A-BD-C为60°,求B
1
C与平面BCD所成的角的大小
题型:不详
难度:
|
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如图,平面
平面
,
是以
为斜边的等腰直角三角形,
分别为
,
,
的中点,
,
.
(1)设
是
的中点,证明:
平面
;
(2)证明:在
内存在一点
,使
平面
,并求点
到
,
的距离.
题型:不详
难度:
|
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在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=AD=2,AA
1
=a,E,F分别为AD,CD的中点.
(1)若AC
1
⊥D
1
F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD
1
-D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在斜三棱柱
中,O是AC的中点,
平面
,
,
.
(1)求证:
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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