试题分析:(1)首先建立空间直角坐标系,列出各对应点坐标,表示对应向量坐标,(-2,2,a),(0,1,-a),再根据空间向量数量积定义,得到2-a2=0,从而求出a的值,(2)先判断二面角E-FD1-D为锐二面角,所以求二面角E-FD1-D的余弦值,就转化为求两个平面法向量夹角的余弦值的绝对值.又平面FD1D的一个法向量为,所以关键求平面EFD1的一个法向量n=(x,y,z),利用 n⊥,n⊥可求出x=y=2z,取其一个法向量为n=(2,2,1),再利用空间向量夹角公式,就可得到二面角E-FD1-D的余弦值. 试题解析:解 如图,以D为坐标原点,DA所在直线为x轴,
DC所在直线为y轴,DD1所在直线为z轴,建立坐标系. (1)由题意得A(2,0,0),D1(0,0,a),C1(0,2,a),F(0,1,0). 故 (-2,2,a), (0,1,-a). 2分 因为AC1⊥D1F,所以,即(-2,2,a)·(0,1,-a)=0. 从而2-a2=0,又a>0,故. 5分 (2)平面FD1D的一个法向量为m=(1,0,0). 设平面EFD1的一个法向量为n=(x,y,z), 因为E(1,0,0),a=2,故=(-1,1,0),(0,1,-2). 由n⊥,n⊥,得-x+y=0且y-2z=0,解得x=y=2z. 故平面EFD1的一个法向量为n=(2,2,1). 8分 因为,且二面角E-FD1-D的大小为锐角, 所以二面角E-FD1-D的余弦值为. 10分 |