试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景,考查线线的位置关系、线面垂直、二面角的求法等数学知识,考查几何法和向量法相结合证明线面垂直,考查空间想象能力、推理论证能力、计算能力.第一问,利用向量法证明线面垂直,如图,建立直角坐标系,得到,,坐标,通过计算可得,,则,,利用线面垂直的判定得平面;第二问,利用向量法求二面角,计算出平面PAD的法向量和平面PBD的法向量,利用夹角公式求出夹角的余弦值,结合图形判断二面角为锐角,得到二面角的值. 试题解析:如图,以B为原点,分别以BC、BA、BP为x、y、z轴,建立空间直角坐标系,则B(0,0,0),C(2,0,0),A(0,1,0),D(1,1,0),P(0,0,1),又DE=2PE,∴.(2分)
(1)∵,,, ∴, . ∴,,又, ∴平面.(8分) (2)设平面的一个法向量为, 则由得, 令,则. 又,设平面的法向量为, 则由,得, 令,则, ∴, ∴. 又二面角A—PD—B为锐二面角,故二面角A—PD—B的大小为60°.(13分) |