设数列{an}满足an+1=an2-nan+1，n=1，2，3，…， （Ⅰ）当a1=2时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式； （Ⅱ）当a1≥3

题型：高考真题难度：来源：

设数列{a_n}满足a_n+1=a_n²-na_n+1，n=1，2，3，…，
（Ⅰ）当a₁=2时，求a₂，a₃，a₄，并由此猜想出a_n的一个通项公式；
（Ⅱ）当a₁≥3时，证明对所有的n≥1，有
（ⅰ）a_n≥n+2；
（ⅱ）。

答案

解：（Ⅰ）由，得；
由，得；
由，得；
由此猜想a_n的一个通项公式：。
（Ⅱ）（ⅰ）用数学归纳法证明：
①当，不等式成立；
②假设当n=k时不等式成立，即，
那么，，
也就是说，当n=k+1时，，
根据①和②，对于所有n≥1，有。
（ⅱ）由及（ⅰ），对k≥2，
有，
∴，
于是，
。