设数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,…, (Ⅰ)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式; (Ⅱ)当a1≥3
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设数列{an}满足an+1=an2-nan+1,n=1,2,3,…, (Ⅰ)当a1=2时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式; (Ⅱ)当a1≥3
题型:高考真题
难度:
来源:
设数列{a
n
}满足a
n+1
=a
n
2
-na
n
+1,n=1,2,3,…,
(Ⅰ)当a
1
=2时,求a
2
,a
3
,a
4
,并由此猜想出a
n
的一个通项公式;
(Ⅱ)当a
1
≥3时,证明对所有的n≥1,有
(ⅰ)a
n
≥n+2;
(ⅱ)
。
答案
解:(Ⅰ)由
,得
;
由
,得
;
由
,得
;
由此猜想a
n
的一个通项公式:
。
(Ⅱ)(ⅰ)用数学归纳法证明:
①当
,不等式成立;
②假设当n=k时不等式成立,即
,
那么,
,
也就是说,当n=k+1时,
,
根据①和②,对于所有n≥1,有
。
(ⅱ)由
及(ⅰ),对k≥2,
有
,
∴
,
于是
,
。
举一反三
等差数列{a
n
}中,已知a
1
=
,a
2
+a
5
=4,a
n
=33,则n为
[ ]
A.48
B.49
C.50
D.51
题型:辽宁省高考真题
难度:
|
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等差数列{a
n
}中,已知a
1
=3,a
4
=12,
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)若a
2
,a
4
分别为等比数列{b
n
}的第1项和第2项,试求数列{b
n
}的通项公式及前n项和S
n
。
题型:福建省模拟题
难度:
|
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已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
,点(n,S
n
)在抛物线y=x
2
上,数列{b
n
}满足b
1
=a
1
,点(b
n
,b
n+1
)在直线y=3x上,
(Ⅰ)分别求{a
n
},{b
n
}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{a
n
·b
n
}的前n项和T
n
。
题型:湖南省模拟题
难度:
|
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数列{a
n
}是公差不为0的等差数列,其前n项和为S
n
,且S
9
=135,a
3
,a
4
,a
12
成等比数列,
(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ)是否存在正整数m,使
仍为数列{a
n
}中的一项?若存在,求出满足要求的所有正整数m;若不存在,说明理由。
题型:湖南省模拟题
难度:
|
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已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,且a
3
=5,S
15
=225。
(1)求数列{a
n
}的通项a
n
;
(3)设b
n
=
+2n,求数列{b
n
}的前n项和T
n
。
题型:黑龙江省模拟题
难度:
|
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