如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1(1)证明:AB=AC(2)设二面角A-BD-C为60°,
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如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1(1)证明:AB=AC(2)设二面角A-BD-C为60°,
题型:不详
难度:
来源:
如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB⊥AC,D、E分别为AA
1
、B
1
C的中点,DE⊥平面BCC
1
(1)证明:AB=AC
(2)设二面角A-BD-C为60°,求B
1
C与平面BCD所成的角的大小
答案
(1)详见解析,(2)
解析
试题分析:(1)证明AB=AC,往往转化为证明对应线段垂直,即证
边上中线垂直
.取BC中点F,连接EF,AF,易得ADEF为平行四边形,从而AF//DE. 又DE⊥平面
,可得AF⊥BC.(2)求直线与平面所成角的关键在于找面的垂线.而面的垂线,往往从面面垂直的性质定理中取到.观察图形可知,BC⊥平面DEF,从而平面BCD⊥平面DEF.过
作两平面的交线
的垂线就是平面BCD的垂线.因为本题三维垂直关系已知,所以也可利用空间向量进行求解.已知条件的二面角与所求线面角有一个相同的平面,这也简化了运算量.
试题解析:
解法一:(1)取BC中点F,连接EF,则EF
,从而EF
DA。
连接AF,则ADEF为平行四边形,从而AF//DE。又DE⊥平面
,故AF⊥平面
,从而AF⊥BC,即AF为BC的垂直平分线,所以AB=AC。 5分
(2)作AG⊥BD,垂足为G,连接CG。由三垂线定理知CG⊥BD,故∠AGC为二面角A-BD-C的平面角。由题设知,∠AGC=600..
设AC=2,则AG=
。又AB=2,BC=
,故AF=
。
由
得2AD=
,解得AD=
。 9分
故AD=AF。又AD⊥AF,所以四边形ADEF为正方形。
因为BC⊥AF,BC⊥AD,AF∩AD=A,故BC⊥平面DEF,因此平面BCD⊥平面DEF。
连接AE、DF,设AE∩DF=H,则EH⊥DF,EH⊥平面BCD。
连接CH,则∠ECH为
与平面BCD所成的角。.
因ADEF为正方形,AD=
,故EH=1,又EC=
=2,
所以∠ECH=300,即
与平面BCD所成的角为300. 12分
解法二:
(1)以A为坐标原点,射线AB为x轴的正半轴,建立如图所示的直角坐标系A—xyz。
设B(1,0,0),C(0,b,0),D(0,0,c),则
(1,0,2c),E(
,
,c).
于是
=(
,
,0),
=(-1,b,0).由DE⊥平面
知DE⊥BC,
=0,求得b=1,所以 AB=AC。 5分
(2)设平面BCD的法向量
则
又
=(-1,1, 0),
=(-1,0,c),故
令x=1,则y=1,z=
,
=(1,1,
).
又平面
的法向量
=(0,1,0)
由二面角
为60°知,
=60°,
故
°,求得
9分
于是
,
,
°
所以
与平面
所成的角为30° 12分
举一反三
如图,平面
平面
,
是以
为斜边的等腰直角三角形,
分别为
,
,
的中点,
,
.
(1)设
是
的中点,证明:
平面
;
(2)证明:在
内存在一点
,使
平面
,并求点
到
,
的距离.
题型:不详
难度:
|
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在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=AD=2,AA
1
=a,E,F分别为AD,CD的中点.
(1)若AC
1
⊥D
1
F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD
1
-D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,在斜三棱柱
中,O是AC的中点,
平面
,
,
.
(1)求证:
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥
的底面ABCD是平行四边形,
,
,
面
,设
为
中点,点
在线段
上且
.
(1)求证:
平面
;
(2)设二面角
的大小为
,若
,求
的长.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=1BC=2,又PB⊥平面ABCD,且PB=1,点E在棱PD上,且DE=2PE.
(1)求证:BE⊥平面PCD;
(2)求二面角A一PD-B的大小.
题型:不详
难度:
|
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