三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;(
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三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;(
题型:不详
难度:
来源:
三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A
1
A=3.D是BC的中点.
(1)求直线DB
1
与平面A
1
C
1
D所成角的正弦值;
(2)求二面角B
1-
A
1
D-C
1
的正弦值.
答案
(1)
(2)
解析
(1)由题意,A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,4,0),D(1,2,0),A
1
(0,0,3),B
1
(2,0,3),C
1
(0,4,3).
=(1,2,-3),
=(0,4,0).
设平面A
1
C
1
D的一个法向量为
n
=(x,y,z).
∵
n
·
=x+2y-3z=0,
n
·
=4y=0.
∴x=3z,y=0.令z=1,得x=3.
n
=(3,0,1).
设直线DB
1
与平面A
1
C
1
D所成角为θ,
∵
=(1,-2,3),
∴sinθ=|cos〈
·
n
〉|=
=
.
(2)设平面A
1
B
1
D的一个法向量为
m
=(a,b,c).
=(2,0,0),∵
m
·
=a+2b-3c=0,
m
·
=2a=0,
∴a=0,2b=3c.令c=2,得b=3.
m
=(0,3,2).
设二面角B
1
A
1
DC
1
的大小为α,
∴|cosα|=cos|〈
m
,
n
〉
|
=
,则sinα=
=
.
∴二面角B
1
A
1
DC
1
的正弦值为
.
举一反三
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在空间直角坐标系O-
xyz
中,平面OAB的法向量为
=(2, –2, 1), 已知P(-1, 3, 2),则P到平面OAB的距离等于 ( )
A.4
B.2
C.3
D.1
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,直三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
中,AB⊥AC,D、E分别为AA
1
、B
1
C的中点,DE⊥平面BCC
1
(1)证明:AB=AC
(2)设二面角A-BD-C为60°,求B
1
C与平面BCD所成的角的大小
题型:不详
难度:
|
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如图,平面
平面
,
是以
为斜边的等腰直角三角形,
分别为
,
,
的中点,
,
.
(1)设
是
的中点,证明:
平面
;
(2)证明:在
内存在一点
,使
平面
,并求点
到
,
的距离.
题型:不详
难度:
|
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在长方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,AB=AD=2,AA
1
=a,E,F分别为AD,CD的中点.
(1)若AC
1
⊥D
1
F,求a的值;
(2)若a=2,求二面角E-FD
1
-D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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