在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F分别是棱B1B、DA的中点.(1)求二面角D1-AE-C的大小;(2)求证:直
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在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F分别是棱B1B、DA的中点. (1)求二面角D1-AE-C的大小; (2)求证:直线BF∥平面AD1E. |
答案
(1)90°(2)见解析 |
解析
(1)解:以D为坐标原点,DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图.
则相应点的坐标分别为D1(0,0,2),A(1,0,0),C(0,1,0),E(1,1,1),∴=(0,0,2)-(1,1,1)=(-1,-1,1), =(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1), =(0,1,0)-(1,0,0)=(-1,1,0). 设平面AED1、平面AEC的法向量分别为m=(a,b,1),n=(c,d,1). 由 由 ∴m=(2,-1,1),n=(-1,-1,1),∴cosm,n===0, ∴二面角D1AEC的大小为90°. (2)证明:取DD1的中点G,连结GB、GF.
∵E、F分别是棱BB1、AD的中点, ∴GF∥AD1,BE∥D1G且BE=D1G, ∴四边形BED1G为平行四边形,∴D1E∥BG. 又D1E、D1A平面AD1E,BG、GF∥平面AD1E, ∴BG∥平面AD1E,GF∥平面AD1E. ∵GF、GB平面BGF,∴平面BGF∥平面AD1E. ∵BF平面AD1E,∴直线BF∥平面AD1E. (或者:建立空间直角坐标系,用空间向量来证明直线BF∥平面AD1E,亦可) |
举一反三
三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.
(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值; (2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值. |
如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.
(1)求证:DC⊥平面ABC; (2)求BF与平面ABC所成角的正弦值; (3)求二面角B-EF-A的余弦值. |
在空间直角坐标系O-xyz中,平面OAB的法向量为=(2, –2, 1), 已知P(-1, 3, 2),则P到平面OAB的距离等于 ( ) |
如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC1
(1)证明:AB=AC (2)设二面角A-BD-C为60°,求B1C与平面BCD所成的角的大小 |
如图,平面平面,是以为斜边的等腰直角三角形,分别为,,的中点,,.
(1)设是的中点,证明:平面; (2)证明:在内存在一点,使平面,并求点到,的距离. |
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