如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)求二面角DA1CE的正

如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.(1)证明:BC1∥平面A1CD;(2)求二面角DA1CE的正

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如图所示,直三棱柱ABCA1B1C1中,D、E分别是AB、BB1的中点,AA1=AC=CB=AB.

(1)证明:BC1∥平面A1CD;
(2)求二面角DA1CE的正弦值..
答案
(1)见解析(2)
解析
(1)证明:连结AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连结DF,则BC1∥DF.
因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1∥平面A1CD.
(2)由AC=CB=AB得AC⊥BC.以C为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.

设CA=2,则D(1,1,0),E(0,2,1),A1(2,0,2),=(1,1,0),=(0,2,1),=(2,0,2).
n=(x1,y1,z1)是平面A1CD的法向量,则
可取n=(1,-1,-1).
同理,设m为平面A1CE的法向量,则可取m=(2,1,-2).
从而cos〈nm〉=,故sin〈nm〉=.即二面角D-A1C-E的正弦值为
举一反三
如图所示,四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,BC=CD=2,AC=4,∠ACB=∠ACD=,F为PC的中点,AF⊥PB.

(1)求PA的长;
(2)求二面角B-AF-D的正弦值.
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在三棱锥SABC中,底面是边长为2的正三角形,点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点,侧棱SB和底面成45°角.

(1)若D为侧棱SB上一点,当为何值时,CD⊥AB;
(2)求二面角S-BC-A的余弦值大小.
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在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,底面是边长为1的正方形,E、F分别是棱B1B、DA的中点.
(1)求二面角D1-AE-C的大小;
(2)求证:直线BF∥平面AD1E.
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三棱柱ABC-A1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中,已知AB=2,AC=4,A1A=3.D是BC的中点.

(1)求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值;
(2)求二面角B1-A1D-C1的正弦值.
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如图甲,在平面四边形ABCD中,已知∠A=45°,∠C=90°,∠ADC=105°,AB=BD,现将四边形ABCD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BDC(如图乙),设点E、F分别为棱AC、AD的中点.

(1)求证:DC⊥平面ABC;
(2)求BF与平面ABC所成角的正弦值;
(3)求二面角B-EF-A的余弦值.
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