已知四棱锥的底面是等腰梯形,且分别是的中点.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.

已知四棱锥的底面是等腰梯形,且分别是的中点.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
已知四棱锥的底面是等腰梯形,分别是的中点.

(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.
答案
(1)详见解析;(2)
解析

试题分析:(1)可证,因为分别是的中点即可证。(2)以所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,先求各点的坐标然后求向量的坐标,再求面的一个法向量。由已知可知为面的一个法向量,用向量的数量积公式求两法向量所成角的余弦值。两法向量所成的角与所求二面角的平面角相等或互补。
试题解析:(1)分别是的中点.
           2分
由已知可知         3分

          4分

            5分
                  6分
(2)以所在直线为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系.         7分

由题设,, 得

           8分
设平面的法向量为
     可取,                          10分
平面的法向量为                                  11分
                            13分
由图形可知,二面角的余弦值为                 14分
举一反三
在空间直角坐标系中,点与点的距离为               .
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若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2)且ab的夹角的余弦值为,则λ=________.
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已知空间四边形OABC,点M、N分别是OA、BC的中点,且a,b,c,用abc表示向量=________.

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已知l∥α,且l的方向向量为(2,m,1),平面α的法向量为,则m=________.
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已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(7,5,λ),若abc三个向量共面,则实数λ等于________.
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