如图,四棱锥中,底面是直角梯形,平面,,,分别为,的中点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.

如图,四棱锥中,底面是直角梯形,平面,,,分别为,的中点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.

题型:不详难度:来源:
如图,四棱锥中,底面是直角梯形,平面分别为的中点,

(1)求证:
(2)求二面角的余弦值.
答案
(1)证明过程详见解析;(2)
解析

试题分析:本题主要考查线面位置关系的证明、二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一:利用E、F为PC、OC中点,得,由于平面,所以,利用面面垂直的判定得平面平面,因为PO为等腰三角形底边上的高,所以,由于AD是面ABCD与面PAD的交线,所以平面,又因为,所以平面,所以EF垂直面内的线AB,在中根据已知的边长可知,所以利用线面垂直的判定得平面,从而得;第二问,作出辅助线HE,AE,利用线面垂直平面ABCD,先得到面面垂直平面平面,得平面POC,所以AH垂直面内的线PC,在等腰三角形APC中,,利用线面垂直得平面AHE,则,得出为二面角的平面角,在三角形内解出的正弦值,再求;法二:第一问,要证明,只需证明,根据已知条件找出垂直关系,建立空间直角坐标系,根据边长写出各个点坐标,计算出向量的坐标,再计算数量积;第二问,利用第一问建立的空间直角坐标系,先计算出平面PAC和平面POC的法向量,利用夹角公式直接求夹角的余弦值.
试题解析:解法一:(1)设,连接,
分别是的中点,则,…1分
已知平面平面,所以平面平面
的中点,则
而平面平面
所以平面
所以平面
平面,所以;     3分
中,
,所以平面
平面,所以.           6分
(2)在平面内过点的延长线于,连接
因为平面,所以平面平面
平面平面,所以平面
平面,所以
中,中点,故
所以平面,则
所以是二面角的平面角.  10分


,则
所以二面角的余弦值为.                          12分
解法二:
因为平面平面,所以平面平面
的中点,则,且平面平面
所以平面.                2分
如图,以O为原点,以分别为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系.

 4分
,所以.  6分
(2)
设平面的法向量为

,得.     8分

所以平面的法向量,              10分

所以二面角的余弦值为.              12分
举一反三
如图,正四面体的顶点分别在两两垂直的三条射线上,则在下列命题中,错误的为(   )
A.是正三棱锥
B.直线平面
C.直线所成的角是
D.二面角

题型:不详难度:| 查看答案
向量=(2,4,x),=(2,y,2),若||=6,且,则x+y的值为( )
A.-3B.1C.-3或1D.3或1

题型:不详难度:| 查看答案
如图,在四棱锥O—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA中点。

(1)求证:直线BD⊥平面OAC;
(2)求直线MD与平面OAC所成角的大小;
(3)求点A到平面OBD的距离。
题型:不详难度:| 查看答案
如图,矩形所在的平面和平面互相垂直,等腰梯形中,=2,分别为的中点,为底面的重心.

(1)求证:∥平面
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥中,分别为的中点,.

(1)证明:∥面
(2)求面与面所成锐角的余弦值.
题型:不详难度:| 查看答案
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