如图,四棱锥中,底面是直角梯形,平面,,,分别为,的中点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.
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如图,四棱锥中,底面是直角梯形,平面,,,分别为,的中点,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
中,底面
是直角梯形,
平面
,
,
,
分别为
,
的中点,
.
(1)求证:
;
(2)求二面角
的余弦值.
答案
(1)证明过程详见解析;(2)
解析
试题分析:本题主要考查线面位置关系的证明、二面角等基础知识,同时考查空间想象能力和计算能力.第一问,法一:利用E、F为PC、OC中点,得
,由于
平面
,所以,利用面面垂直的判定得平面
平面
,因为PO为等腰三角形底边上的高,所以
,由于AD是面ABCD与面PAD的交线,所以
平面
,又因为
,所以
平面
,所以EF垂直面内的线AB,在
中根据已知的边长可知
,所以利用线面垂直的判定得
平面
,从而得
;第二问,作出辅助线HE,AE,利用线面垂直
平面ABCD,先得到面面垂直平面
平面
,得
平面POC,所以AH垂直面内的线PC,在等腰三角形APC中,
,利用线面垂直得
平面AHE,则
,得出
为二面角的平面角,在三角形内解出
的正弦值,再求
;法二:第一问,要证明
,只需证明
,根据已知条件找出垂直关系,建立空间直角坐标系,根据边长写出各个点坐标,计算出向量
和
的坐标,再计算数量积;第二问,利用第一问建立的空间直角坐标系,先计算出平面PAC和平面POC的法向量,利用夹角公式直接求夹角的余弦值.
试题解析:解法一:(1)设
,连接
,
分别是
、
的中点,则
,…1分
已知
平面
,
平面
,所以平面
平面
,
又
,
为
的中点,则
,
而平面
平面
,
所以
平面
,
所以
平面
,
又
平面
,所以
; 3分
在
中,
,
;
又
,所以
平面
,
又
平面
,所以
. 6分
(2)在平面
内过点
作
交
的延长线于
,连接
,
,
因为
平面
,所以平面
平面
,
平面
平面
,所以
平面
,
平面
,所以
;
在
中,
,
是
中点,故
;
所以
平面
,则
.
所以
是二面角
的平面角. 10分
设
,
而
,
,则
,
所以二面角
的余弦值为
. 12分
解法二:
因为
平面
,
平面
,所以平面
平面
,
又
,
是
的中点,则
,且平面
平面
,
所以
平面
. 2分
如图,以O为原点,以
分别为
轴、
轴、
轴的正方向建立空间直角坐标系.
4分
,
,所以
. 6分
(2)
,
,
设平面
的法向量为
,
则
令
,得
. 8分
又
,
,
所以平面
的法向量
, 10分
,
所以二面角
的余弦值为
. 12分
举一反三
如图,正四面体
的顶点
分别在两两垂直的三条射线
上,则在下列命题中,错误的为( )
A.
是正三棱锥
B.直线
平面
C.直线
与
所成的角是
D.二面角
为
题型:不详
难度:
|
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向量
=(2,4,x),
=(2,y,2),若|
|=6,且
⊥
,则x+y的值为( )
A.-3
B.1
C.-3或1
D.3或1
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥O—ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA中点。
(1)求证:直线BD⊥平面OAC;
(2)求直线MD与平面OAC所成角的大小;
(3)求点A到平面OBD的距离。
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,矩形
所在的平面和平面
互相垂直,等腰梯形
中,
∥
,
=2,
,
,
,
分别为
,
的中点,
为底面
的重心.
(1)求证:
∥平面
;
(2)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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如图,四棱锥
中,
面
,
、
分别为
、
的中点,
,
.
(1)证明:
∥面
;
(2)求面
与面
所成锐角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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