试题分析:方法一:向量法以A为原点,AB,AD,AO分别x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,A-xyz (1)利用向量的数量积的坐标运算与垂直的关系,∵=(-1,1,0),=(0,0,2),=(1,1,0)∴=0,=-1+1=0∴BD⊥AD,BD⊥AC,又AO∩AC=A故BD⊥平面OAC ; (2)取平面OAC的法向量=(-1,1,0),又=(0,1,-1)[ K则: ∴=60°故:MD与平面OAC所成角为30°; (3)设平面OBD的法向量为=(x,y,z),则 取=(2,2,1)则点A到平面OBD的距离为d=; 方法二:几何法(1)由线面垂直的的判断定理证明,由OA⊥底面ABCD,OA⊥BD,∵底面ABCD是边长为1的正方形∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC ;(2)先构造线面所成的角,设AC与BD交于点E,连结EM,则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角,又由于∵MD=,DE=∴直线MD与平面OAC折成的角为30°;(3)构造点到面的距离,作AH⊥OE于点H,∵BD⊥平面OAC∴BO⊥AH 线段AH的长就是点A到平面OBD的距离,有AH=可知点A到平面OBD的距离为. 试题解析:方法一:以A为原点,AB,AD,AO分别x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,A-xyz。 (1)∵=(-1,1,0),=(0,0,2),=(1,1,0) ∴=0,=-1+1=0 ∴BD⊥AD,BD⊥AC,又AO∩AC=A 故BD⊥平面OAC 4分 (2)取平面OAC的法向量=(-1,1,0),又=(0,1,-1) 则: ∴=60° 故:MD与平面OAC所成角为30° 8分 (3)设平面OBD的法向量为=(x,y,z),则
取=(2,2,1) 则点A到平面OBD的距离为d= 12分 方法二:(1)由OA⊥底面ABCD,OA⊥BD。 ∵底面ABCD是边长为1的正方形 ∴BD⊥AC ∴BD⊥平面OAC 4分 (2)设AC与BD交于点E,连结EM,则∠DME是直线MD与平面OAC折成的角 ∵MD=,DE= ∴直线MD与平面OAC折成的角为30° 8分 (3)作AH⊥OE于点H。 ∵BD⊥平面OAC ∴BO⊥AH 线段AH的长就是点A到平面OBD的距离。 ∴AH= ∴点A到平面OBD的距离为 12分 |