如图,边长为2的正方形中,点是的中点,点是的中点,将△、△分别沿、折起,使、两点重合于点,连接,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.
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如图,边长为2的正方形中,点是的中点,点是的中点,将△、△分别沿、折起,使、两点重合于点,连接,.(1)求证:;(2)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,边长为2的正方形
中,点
是
的中点,点
是
的中点,将△
、△
分别沿
、
折起,使
、
两点重合于点
,连接
,
.
(1)求证:
;
(2)求二面角
的余弦值.
答案
(1)详见解析;(2)
.
解析
试题分析:(1)由
,
证出
平面
,进而证出结论;(2)方法一:根据对称可判断
即为所求,由(1)可证△
为直角三角形,再求出边长即可;方法二:建系,求出平面
和平面
的法向量,两法向量的夹角的余弦值即为所求.
试题解析:(1)在正方形
中,有
,
1分
则
,
2分
又
3分
∴
平面
4分
而
平面
,∴
5分
(2)方法一:连接
交
于点
,连接
6分
∵在正方形
中,点
是
的中点,点
是
的中点,
∴
,
,
∴点
为
的中点,
且
7分
∵正方形
的边长为2,∴
,∴
8分
∴
为二面角
的平面角 9分
由(1)可得
,
∴△
为直角三角形 10分
∵正方形
的边长为2,
∴
,
,
∴
,
,
又
11分
∴
12分
∴
13分
∴二面角
的余弦值为
14分
方法二:∵正方形
的边长为2,点
是
的中点,点
是
的中点,
∴
,
∴
6分
∴
,∴
7分
由(1)得
平面
,
∴分别以
,
,
为
,
,
轴建立如图所示的空间直角
坐标系
, 8分
则
,
,
,
9分
∴
,
,
设平面
的一个法向量为
,则由
,
可取
11分
又平面
的一个法向量可取
12分
∴
13分
∴二面角
的余弦值为
. 14分.
举一反三
已知点
为
的外接圆的圆心,且
,则
的内角
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在四棱锥
中,
底面
,底面
为正方形,
,
分别是
的中点.
(1)求证:
;
(2)在平面
内求一点
,使
平面
,并证明你的结论;
(3)求
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
(本小题12分)如图:四棱锥P—ABCD中,底面ABCD
是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=
,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)证明:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;
(2)当BE等于何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°.
题型:不详
难度:
|
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已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD="AD."
(Ⅰ)求证:BC∥平面PAD;
(Ⅱ)若E、F分别为PB,AD的中点,求证:EF⊥BC;
(Ⅲ)求二面角C-PA-D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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在如图所示的空间直角坐标系O-xyz中,原点O是BC的中点,A点坐标为
,D点在平面yoz上,BC=2,∠BDC=90°,∠DCB=30°.
(Ⅰ)求D点坐标;
(Ⅱ)求
的值.
题型:不详
难度:
|
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