在底面边长为2,高为1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中,E,F分别为BC,C1D1的中点.(1)求异面直线A1E,CF所成的角;(2)求平面A1EF与平面
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在底面边长为2,高为1的正四梭柱ABCD=A1B1C1D1中,E,F分别为BC,C1D1的中点.(1)求异面直线A1E,CF所成的角;(2)求平面A1EF与平面
题型:不详
难度:
来源:
在底面边长为2,高为1的正四梭柱ABCD=A
1
B
1
C
1
D
1
中,E,F分别为BC,C
1
D
1
的中点.
(1)求异面直线A
1
E,CF所成的角;
(2)求平面A
1
EF与平面ADD
1
A
1
所成锐二面角的余弦值.
答案
(1)
(2)
解析
试题分析:(1)以D为原点建立空间直角坐标系,求出各点坐标,进而求出异面直线A
1
E,CF的方向向量,代入向量夹角公式,可得求异面直线A
1
E,CF所成的角;
(2)求平面A
1
EF与平面ADD
1
A
1
的法向量,代入向量夹角公式,可得二面角的余弦值.
以D为原点建立空间直角坐标系
(1)A
1
(2,0,1),E(1,2,0),C(0,2,0),F(0,1,1)
,
设异面直线A
1
E,CF所成的角为θ,则
,
即3=
•
•cosθ
解得cosθ=
解
,
所以,所求异面直线的夹角为
(2)
,设平面A
1
EF的法向量为
,则
,
令x=1,则平面A
1
EF的一个法向量为
,
平面ADD
1
A
1
的一个法向量为
,
设平面A
1
EF与平面ADD
1
A
1
所成锐二面角为α,则
由
,
即2=
•1•cosα
解得:
故平面A
1
EF与平面ADD
1
A
1
所成锐二面角的余弦值为
点评:本题考查的知识点是用空间向量求平面间的夹角,用空间向量求直线间的夹角,建立空间坐标系,将空间异面直线夹角问题及二面角问题转化为向量夹角问题是解答的关键.
举一反三
如图,边长为2的正方形
中,点
是
的中点,点
是
的中点,将△
、△
分别沿
、
折起,使
、
两点重合于点
,连接
,
.
(1)求证:
;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知点
为
的外接圆的圆心,且
,则
的内角
等于( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥
中,
底面
,底面
为正方形,
,
分别是
的中点.
(1)求证:
;
(2)在平面
内求一点
,使
平面
,并证明你的结论;
(3)求
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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(本小题12分)如图:四棱锥P—ABCD中,底面ABCD
是矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=1,AD=
,点F是PB的中点,点E在边BC上移动.
(1)证明:无论点E在BC边的何处,都有PE⊥AF;
(2)当BE等于何值时,PA与平面PDE所成角的大小为45°.
题型:不详
难度:
|
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已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,PD="AD."
(Ⅰ)求证:BC∥平面PAD;
(Ⅱ)若E、F分别为PB,AD的中点,求证:EF⊥BC;
(Ⅲ)求二面角C-PA-D的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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