已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x,G是BC的中点,沿EF将梯形A
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已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x,G是BC的中点,沿EF将梯形A
题型:0103 期末题
难度:
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已知梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=∠BAD=
,AB=BC=2AD=4,E、F分别是AB、CD上的点,EF∥BC,AE=x,G是BC的中点,沿EF将梯形ABCD翻折,使平面AEFD⊥平面EBCF(如图2)。
(
Ⅰ
)当x=2时,求证:BD⊥EG;
(Ⅱ)若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为f(x),求f(x)的最大值;
(Ⅲ)当f(x)取得最大值时,求二面角D-BF-C的余弦值。
答案
解:(Ⅰ)∵平面AEFD⊥平面EBCF,又EF∥AD,∠AEF=
,
∴AE⊥EF,∴AE⊥平面EBCF,AE⊥EF,AE⊥BE,
又BE⊥EF,故可如图建立空间坐标系E-xyz,
∵EA=2,∴EB=2,
又∵G为BC的中点,BC=4,
∴BG=2,则A(0,0,2),B(2,0,0),G(2,2,0),
D(0,2,2),E(0,0,0),
(-2,2,2),
(2,2,0),
(-2,2,2)?(2,2,0)=0,
∴BD⊥EG。
(Ⅱ)∵AD∥面BFC,
所以
,
即x=2时,f(x)有最大值
。
(Ⅲ)设平面DBF的法向量为
,
∵AE=2, B(2,0,0),D(0,2,2), F(0,3,0),
∴
(-2,2,2),
则
,
即
,
,
取x=3,y=2,z=1,∴
,
∵AE⊥面BCF,∴面BCF一个法向量为
,
则
,
由于所求二面角D-BF-C的平面角为钝角,
所以此二面角的余弦值为-
。
举一反三
如图,四棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中,A
1
D⊥平面ABCD,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱A
1
A=2,
(Ⅰ)证明:AC⊥A
1
B;
(Ⅱ)若棱AA
1
上存在一点P,使得
,当二面角A-B
1
C
1
-P 的大小为30°时,求实数λ的值.
题型:吉林省模拟题
难度:
|
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如图,棱柱ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
的所有棱长都等于2,∠ABC和∠A
1
B
1
C
1
均为60°,平面AA
1
C
1
C⊥平面ABCD,
(Ⅰ)求证:BD⊥AA
1
;
(Ⅱ)求二面角D-AA
1
-C的余弦值;
(Ⅲ)在直线CC
1
上是否存在点P,使BP∥平面DA
1
C
1
,若存在,求出点P的位置,若不存在,请说明理由。
题型:吉林省模拟题
难度:
|
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如图所示的几何体ABCDE中,DA⊥平面EAB,CB∥DA,EA=DA=AB=2CB,EA⊥AB,M是EC的中点。
(1)求证:DM⊥EB;
(2)求二面角M-BD-A的余弦值。
题型:模拟题
难度:
|
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与向量a=(1,-1,-2)垂直的一个向量的坐标是
[ ]
A.(
,1,1)
B.(-1,-3,2)
C.
D.
题型:同步题
难度:
|
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直三棱柱ABC-A′B′C′中,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D、E分别为AB、BB′的中点。
(1)求证:CE⊥A′D;
(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值。
题型:同步题
难度:
|
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