解:设BD与AC交于O,则BD⊥AC,连结A1O,
在△AA1O中,AA1=2,AO=1,∠A1AO=60°,
所以A1O2=AA12+AO2-2AA1·AOcos60°=3,
所以AO2+A1O2=AA12,所以A1O⊥AO。
由于平面AA1C1C⊥平面ABCD,
所以A1O⊥平面ABCD。
以OB,OC,OA1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,
建立如图所示的空间直角坐标系,则
,
(Ⅰ)由于,
,
∴;
(Ⅱ)由于OB⊥平面,
∴平面的一个法向量为,
设,则,
设,则,
取,
∴,
所以,二面角D-A1A-C的平面角的余弦值为。
(Ⅲ)假设在直线CC1上存在点P,使BP∥平面DA1C1,
设,P(x,y,z),
则,
从而有,
设,则,
又,
设,则,取,
因为BP∥平面DA1C1,则,即,
得,即点P在C1C的延长线上,且。
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