已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点。(1)求四棱锥P—ABCD的体积;(2)不论点E在何位置,是否都有BDAE?试证明你的结论;(
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已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点。(1)求四棱锥P—ABCD的体积;(2)不论点E在何位置,是否都有BDAE?试证明你的结论;(
题型:不详
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已知四棱锥P—ABCD及其三视图如下图所示,E是侧棱PC上的动点。
(1)求四棱锥P—ABCD的体积;
(2)不论点E在何位置,是否都有BD
AE?试证明你的结论;
(3)若点E为PC的中点,求二面角D—AE—B的大小。
答案
(1)2 /3 (2)略(3)120°
解析
本试题主要考查了立体几何中的线面的垂直,以及二面角的求解的综合运用。
解:(I)由三视图知PC⊥面ABCD,ABCD为正方形,且PC=2,AB=BC=1(2分)
∴VP-ABCD="1" /3 •S
ABCD
×PC="1" /3 •1
2
•2="2" /3 (1分)
(II)∵PC⊥面ABCD,BD⊂面ABCD∴PC⊥BD …(1分)而BD⊥AC,AC∩AE=A,
∴BD⊥面ACE,…(1分)而AE⊂面ACE∴BD⊥AE (1分)
(III)法一:连接AC,交BD于O.由对称性,二面角D-AE-B是二面角O-AE-B的2倍,设θ为二面角O-AE-B的平面角.注意到B在面ACE上的射影为O
S△AOE="1/" 2 S△ACE="1" /2 ×1/ 2 ×
=
/ 4 .
S△ABE="1" /2 AB•BE=
=
/ 2 ,(2分)∴cosθ=S△AOE /S△ABE ="1" /2
∴θ=60°∴二面角D-AE-B是120°(2分)
法二:以C为坐标原点,CD所在直线为x轴建立空间直角坐标系
则D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),
从而 DE =(-1,0,1), DA =(0,1,0),
BA =(1,0,0), BE =(0,-1,1)(2分)
设平面ADE和平面ABE的法向量分别为
n
1
=(x
1
,y
1
,z
1
), n
2
=(x
2
,y
2
,z
2
)则-x
1
+z
1
=0,y
1
=0
x
2
=0,-y
2
+z
2
=0令z
1
=1,z
2
=-1,则 n
1
=( (1,0,1), n
2
=(0,-1,-1)(2分)
设二面角D-AE-B的平面角为θ,则|cosθ|="|" n
1
• n
2
| /| n
1
| ×| n
2
| = 1 /2 .
二面角D-AE-B为钝二面角.∴二面角D-AE-B的大小为2π/ 3 .
举一反三
设
a
=(
x,
2
y,
3),
b
=(1,1,6),且
a
∥
b
,则
x
+
y
等于( )
A.
B.
C.
D.2
题型:不详
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若
a
=(0,1,-1),
b
=(1,1,0),且(
a
+
λb
)⊥
a
,则实数
λ
的值是( )
A.-1
B.0
C.1
D.-2
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若向量(1,0,
z
)与向量(2,1,0)的夹角的余弦值为
,则
z
等于( )
A.0
B.1
C.-1
D.2
题型:不详
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若
a
=(2,-3,5),
b
=(-3,1,-4),则|
a
-2
b
|=________.
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已知点
点C在坐标轴上,若
,这样的点C的个数为( )
A.1
B.2
C.5
D.4
题型:不详
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