试题分析:(1)直线与平面垂直的证明,对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法,所以根据题意建立坐标系后,写出相应的点的坐标.根据向量证明向量 与平面内的两个相交向量的数量积为零即可. (2)证明直线与平面所成的角的正弦值,主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值,再通过两角的互余关系转化为正弦值. 试题解析:(1)证明:因为 是直三棱柱, 所以 , 又 , 即 . 如图所示,建立空间直角坐标系 .
![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106005213-23827.png)
, , , , 所以 , ,
. 又因为 , , 所以 , , 平面 . (2)解:由(1)知, 是平面 的法向量,
, 则 ![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106005216-33393.png) . 设直线 与平面 所成的角为 , 则![](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191106/20191106005217-92939.png) . 所以直线 与平面 所成角的正弦值为 . |