(1)证明 法一 取A1B1的中点F1,连接FF1,C1F1,由于FF1∥BB1∥CC1, 所以F1∈平面FCC1,
因此平面FCC1,即为平面C1CFF1.,连接A1D,F1C,由于 CD, 所以四边形A1DCF1为平行四边形,因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D,得EE1∥F1C. 而EE1⊄平面FCC1,F1C⊂平面FCC1,故EE1∥平面FCC1. 法二 因为F为AB的中点,CD=2,AB=4,AB∥CD,所以CDAF. 因此四边形AFCD为平行四边形,所以AD∥FC. 又CC1∥DD1,FC∩CC1=C,FC⊂平面FCC1,CC1⊂平面FCC1, 所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1,所以EE1∥平面FCC1. (2)解 法一 取FC的中点H,由于FC=BC=FB,所以BH⊥FC.又BH⊥CC1,CC1∩FC=C.所以BH⊥平面FCC1.过H作HG⊥C1F于G,连接BG.由于HG⊥C1F,BH⊥平面FCC1,所以C1F⊥平面BHG.因此BG⊥C1F,所以∠BGH为所求二面角的平面角.在Rt△BHG中,BH=, 又FH=1,且△FCC1为等腰直角三角形,所以HG=,BG==,因此cos∠BGH===, 即所求二面角的余弦值为. 法二 过D作DR⊥CD交AB于R,以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则F(,1,0),B(,3,0),C(0,2,0),C1(0,2,2). 所以=(0,2,0),=(-,-1,2),=(,3,0). 由FB=CB=CD=DF,所以DB⊥FC.又CC1⊥平面ABCD, 所以为平面FCC1的一个法向量. 设平面BFC1的一个法向量为n=(x,y,z), 则由得即取x=1,得 因此n=,所以cos〈,n〉==. 故所求二面角的余弦值为. |