如图，四棱锥的底面是正方形，平面，为上的点，且.（1）证明：；（2）若，求二面角的余弦值.

题型：不详难度：来源：

如图，四棱锥的底面是正方形，平面，为上的点，且.

（1）证明：；
（2）若，求二面角的余弦值.

答案

（1）详见解析；（2）二面角的余弦值为.

解析

试题分析：（1）要证，先证平面，则要证明垂直于平面内的两条相交直线，先由正方形的对角线互相垂直得到，再由平面，得到，结合直线与平面垂直的判定定理得到平面，从而得到；（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角的余弦值.
试题解析：（1）∵平面，∴，
∵底面是正方形，∴，∴平面，
∵平面，∴.
（2）以为原点，、、所在的直线为、、轴建立空间直角坐标系．
设，则，，因为，
易知，，,，，
所以，，，
设平面的法向量为，则，，
即，令，得，同理可取平面的法向量，
所以，所以二面角的余弦值为.