如图,四棱锥中,,底面为直角梯形,,点在棱上,且.(1)求异面直线与所成的角;(2)求证:平面;(3)求二面角的余弦值.
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如图,四棱锥中,,底面为直角梯形,,点在棱上,且.(1)求异面直线与所成的角;(2)求证:平面;(3)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,四棱锥
中,
,底面
为直角梯形,
,点
在棱
上,且
.
(1)求异面直线
与
所成的角;
(2)求证:
平面
;
(3)求二面角
的余弦值.
答案
(1)异面直线
与
所成的角等于
.(2)证明见解析
(3)二面角
的余弦值为
.
解析
(1)以
为原点,
所在直线分别为
轴,
轴,
轴,建立空间直角坐标系
.
设
,则
,
.
,
,即
,
,则
.
,
,
,
所以异面直线
与
所成的角等于
.
(2)连结
交
于
,连结
,
.
又
,
.
,故
平面
.
(2)连结
交
于
,连结
,
.
又
,
.
,故
平面
.
(3)设平面
的法向量
,
,
由
得
所以
于是
.
又因为平面
的法向量
,
所以
,即二面角
的余弦值为
.
举一反三
如图,正四棱柱
中,底面边长为
,侧棱长为4,点
分别为棱
的中点,
,求点
到平面
的距离
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,在长方体
中,点
分别在
上,且
,
.
(1)求证:
平面
;
(2)若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角(或直角),则在空间有定理:若两条直线分别垂直于两个平面,则这两条直线所成的角与这两个平面所成角相等,试根据上述定理,在
时,求平面
与平面
所成角的大小.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,四面体
两两垂直,
是
的中点,
是
的中点.
(1)建立适当的坐标系,写出点
的坐标;
(2)求
与底面
所成的角的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
在正三棱柱
中,所有棱的长度都是2,
是
边的中点,问:在侧棱
上是否存在点
,使得异面直线
和
所成的角等于
.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图,平面
平面
是正方形,
是矩形,且
,
是
的中点.
(1)求
与平面
所成角
的正弦值;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
查看答案
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