试题分析: (1)(2)(3)均可利用坐标法,即分别以建立三维空间坐标系.下面重点分析法2 (1)利用勾股定理可以求的线段的长,而要证明面,只需要证明,首先可以三次利用勾股定理把的三条边长求出,再利用勾股定理证明,线段为等腰直角三角形ABC的三线合一即有,可得到面,进而得到,即可通过线线垂直证明面DAE. (2)要求二面角的余弦值,需要作出该二面角的平面角,为此过D做DM⊥AE于点M,连接B1M.,根据第一问有面AED且可以得到面,则即为所求二面角的平面角,即该角的余弦值为.利用勾股定理即可得到的长,进而得到二面角的余弦值. (3)由(1)可得面,则该三棱锥可以以作为底面,高为来求的体积,而AD和三角形的面积都可以用勾股定理求的. 试题解析:
法1:依题意,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为=4,所以A(0,0,0),B(4,0,0),E(0,4,2),D(2,2,0),B1(4,0,4). (1分) (1),,. (2分) 因为,所以,即. (3分) 因为,所以,即. (4分) 又AD、AEÌ平面AED,且AD∩AE=A,故⊥平面. (5分) (2)由(1)知为平面AED的一个法向量. (6分) 设平面 B1AE的法向量为,因为,, 所以由,得,令y=1,得x=2,z=-2.即.(7分) ∴, (8分) ∴二面角的余弦值为. (9分) (3)由,,得,所以AD⊥DE. (10分) 由,,得. (11分) 由(1)得B1D为三棱锥B1-ADE的高,且, (12分) 所以. (13分) 法2:依题意得,平面ABC,,, ,. (1)∵,D为BC的中点,∴AD⊥BC. ∵B1B⊥平面ABC,AD平面ABC,∴AD⊥B1B. BC、B1B平面B1BCC1,且BC∩B1B=B,所以AD⊥平面B1BCC1. 又B1D平面B1BCC1,故B1D⊥AD . (2分) 由,,, 得,所以. (4分) 又AD、DE平面AED,且AD∩DE=E,故⊥平面. (5分) (2)过D做DM⊥AE于点M,连接B1M. 由B1D⊥平面AED,AE平面AED,得AE ⊥B1D. 又B1D、DM平面B1DM,且B1D∩DM=D,故AE⊥平面B1DM. 因为B1M平面B1DM,所以B1M⊥AE. 故∠B1MD为二面角B1—AE—D的平面角. (7分) 由(1)得,AD⊥平面B1BCC1,又DE平面B1BCC1,所以AD⊥DE. 在Rt△AED中,, (8分) 在Rt△B1DM中,, 所以,即二面角B1—AE—D的余弦值为. (9分) (3)由(1)得,AD⊥平面B1BCC1, 所以AD为三棱锥A-B1DE的高,且. (10分) 由(1)得. (11分) 故. (13分) |