试题分析:(1)证明线线垂直要通过线面垂直证明,题中所给侧面PAD⊥底面ABCD是面面垂直,通过取AD的中点O,连结OP,OE,∵PA=PD,∴OP⊥AD,而OE⊥AD.,则AD⊥平面OPE.,从而能够证出AD⊥PE..(2)求二面角E-AD-G的正切值可以通过两种方法:①常规方法,作出二面角的平面角,并求出,取OE的中点F,连结FG,OG,则由(1)易知AD⊥OG,又OE⊥AD,∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角,再利用三角形中边长关系求出∠GOE的正切值;②空间向量法,建立如图所示的空间直角坐标系,写出已知点的坐标,设平面ADG的法向量为,根据,求出 ,而平面EAD的一个法向量为,再根据求出. 试题解析:(1)如图,取AD的中点O,连结OP,OE,∵PA=PD,∴OP⊥AD,
又E是BC的中点,∴OE∥AB,∴OE⊥AD. 又OP∩OE=0,∴AD⊥平面OPE. ∵PE⊂平面OPE,∴AD⊥PE. (2)解法一:取OE的中点F,连结FG,OG,则由(1)易知AD⊥OG, 又OE⊥AD,∴∠GOE就是二面角E-AD-G的平面角, ∵PA=PD,∠APD=60°, ∴△APD为等边三角形,且边长为2, ∴OP=×2=,FG=OP=,OF=CD=1, ∴OG=,∴cos∠GOE= 解法二:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),D(-1,0,0),P(0,0,),E(0,2,0),
∴ 设平面ADG的法向量为, 由得, ∴. 又平面EAD的一个法向量为, 又因为. |