如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距
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如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.(1)求证:PC⊥BC(2)求点A到平面PBC的距
题型:不详
难度:
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如图,四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90°.
(1)求证:PC⊥BC
(2)求点A到平面PBC的距离.
答案
(1)BC⊥PC;(2)
.
解析
试题分析:(1)要证线线垂直,要从线面垂直角度入手,根据题中所给条件易知BC⊥平面PDC,而PC在平面PDC,从而能够证明出BC⊥PC. (2)要求点到面的距离,常用到等体积定理,由已知条件可知
V
A
-PBC
=V
P
-ABC
,而通过计算可知V
P
-ABC
=
S
△
ABC
·PD=
,接下来只需要求出△PBC的面积,这样根据
S
△
PBC
·h=
,∴h=
,所以点A到平面PBC的距离为
.
试题解析:(1)∵PD⊥平面ABCD,BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.
由∠BCD=90°知,BC⊥DC,
∵PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC,
∴BC⊥PC.
(2)设点A到平面PBC的距离为h,
∵AB∥DC,∠BCD=90°,∴∠ABC=90°,
∵AB=2,BC=1,∴S
△
ABC
=
AB·BC=1,
∵PD⊥平面ABCD,PD=1,
∴V
P
-ABC
=
S
△
ABC
·PD=
,
∵PD⊥平面ABCD,∴PD⊥DC,
∵PD=DC=1,∴PC=
,
∵PC⊥BC,BC=1,
∴S
△
PBC
=
PC·BC=
,
∵V
A
-PBC
=V
P
-ABC
,
∴
S
△
PBC
·h=
,∴h=
,
∴点A到平面PBC的距离为
.
举一反三
四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,
,
,若
平面BDE,则
的值为 ( )
A.1
B.3
C.2
D.4
题型:不详
难度:
|
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如图,四边形PDCE为矩形,ABCD为梯形,平面PDCE⊥平面ABCD,∠BAD=∠ADC=90°,AB=AD=
.
(Ⅰ)若M为PA中点,求证:AC∥平面MDE;
(Ⅱ)求平面PAD与PBC所成锐二面角的大小.
题型:不详
难度:
|
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已知m,n是两条不同的直线,
是两个不同的平面,则下列命题中的真命题是 ( )
A.若
则
B.若
,则
C.若
,
则
D.若
,则
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥P-ABCD中,底面为直角梯形,
垂直于底面ABCD,PA=AD=AB=2BC=2,M,N分别为PC,PB的中点.
(Ⅰ)求证:PB⊥DM;
(Ⅱ)求点B到平面PAC的距离.
题型:不详
难度:
|
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直三棱柱
中,
,
,
,D为BC中点.
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)求证:
;
(Ⅲ)求二面角
的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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