如图1,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结、、,其中.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

如图1,矩形中,,,、分别为、边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结、、,其中.(Ⅰ)求证:平面;(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
如图1,矩形中,,,分别为边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结,其中.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ) .
解析

试题分析:(Ⅰ)三角形和三角形中,各边长度确定,故可利用勾股定理证明垂直关系
,进而由线面垂直的判定定理可证明平面;(Ⅱ)方法一(向量法):根据题意,以为坐标原点建立空间直角坐标系,再表示出相关点的坐标,再求面的法向量和直线的方向向量,其夹角余弦值的绝对值即直线和平面所成角的正弦值;方法二(综合法):过点,则易证平面,所以为直线与平面所成的角,进而在求角.
试题解析:(Ⅰ)由翻折不变性可知,,, 在中,,所以,在图中,易得,
中,,所以,又,平面,平面,所以平面.

(Ⅱ)方法一:以为原点,建立空间直角坐标系如图所示,则,,
,,所以,,, 设平面的法向量为,则,即,解得,令,得,设直线与平面所成角为,则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.
方法二:过点,由(Ⅰ)知平面,而平面,所以,又,平面,平面,所以平面,所以为直线与平面所成的角. 在中, ,在中,由等面积公式得,在中,,所以直线与平面所成角的正弦值为.
举一反三
已知长方体,点的中点.

(1)求证:
(2)若,试问在线段上是否存在点使得,若存在求出,若不存在,说明理由.
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如图,在正三棱柱中,分别为的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:平面平面.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD是矩形,平面PCD⊥平面ABCD,M为PC中点.求证:

(1)PA∥平面MDB;
(2)PD⊥BC.
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已知直线平面,直线平面,则直线的位置关系是       .
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已知是三条不同的直线,是三个不同的平面,下列命题:
①若,则;          ②若,则
③若,则;  ④若,则.
其中真命题是_      __.(写出所有真命题的序号).
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