如图,在三棱柱中,平面,,, ,分别是,的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
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如图,在三棱柱中,平面,,, ,分别是,的中点.(Ⅰ)求证:∥平面;(Ⅱ)求证:平面平面;(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱柱
中,
平面
,
,
,
,
分别是
,
的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面
;
(Ⅱ)求证:平面
平面
;
(Ⅲ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
答案
(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)
解析
试题分析:(Ⅰ)根据题意可根据中点证平行四边形得线线平行,再根据线面平行的性质定理得线面平行。(Ⅱ)由已知条件易得
平面
.由(Ⅰ)知
∥
,即
平面
。根据面面垂直的判定定理可得平面
平面
。(Ⅲ)法一普通方法:可用等体积法求点
到面
的距离,再用线面角的定义找到线面角后求其正弦值。此法涉及到大量的计算,过程较繁琐;法二空间向量法:建立空间直角坐标系后先求面
的法向量。
与法向量所成角余弦值的绝对值即为直线
与平面
所成角的正弦值。
试题解析:证明:(Ⅰ)
取
的中点
,连结
,交
于点
,可知
为
中点,
连结
,易知四边形
为平行四边形,
所以
∥
.
又
平面
,
平面
,
所以
∥平面
. 4分
证明:(Ⅱ)因为
,且
是
的中点,
所以
.
因为
平面
,所以
.
所以
平面
.
又
∥
,所以
平面
.
又
平面
,
所以平面
平面
. 9分
解:(Ⅲ)如图建立空间直角坐标系
,
则
,
,
,
.
,
,
.
设平面
的法向量为
.
则
所以
令
.则
.
设向量
与
的夹角为
,则
.
所以直线
与平面
所成角的正弦值为
. 14分
举一反三
如图,边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点,AF=3.
(I)求证:DA⊥平面ABEF;
(Ⅱ)求证:MN∥平面CDFE;
(Ⅲ)在线段FE上是否存在一点P,使得AP⊥MN? 若存在,求出FP的长;若不存在,请说明理由.
题型:不详
难度:
|
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如图,正方体
的棱长为
,动点P在对角线
上,过点P作垂直于
的平面
,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y,设
x,则当
时,函数
的值域为( )
A.
B.
C.
D.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图1,矩形
中,
,
,
、
分别为
、
边上的点,且
,
,将
沿
折起至
位置(如图2所示),连结
、
,其中
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)在线段
上是否存在点
使得
平面
?若存在,求出点
的位置;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)求点
到平面
的距离.
题型:不详
难度:
|
查看答案
如图1,矩形
中,
,
,
、
分别为
、
边上的点,且
,
,将
沿
折起至
位置(如图2所示),连结
、
、
,其中
.
(Ⅰ)求证:
平面
;
(Ⅱ)求直线
与平面
所成角的正弦值.
题型:不详
难度:
|
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已知长方体
,点
为
的中点.
(1)求证:
面
;
(2)若
,试问在线段
上是否存在点
使得
,若存在求出
,若不存在,说明理由.
题型:不详
难度:
|
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