如图,边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点,AF=3.(I)求证:DA⊥平面ABEF;(Ⅱ)求证:MN∥平面CD

如图,边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点,AF=3.(I)求证:DA⊥平面ABEF;(Ⅱ)求证:MN∥平面CD

题型:不详难度:来源:
如图,边长为4的正方形ABCD与矩形ABEF所在平面互相垂直,M,N分别为AE,BC的中点,AF=3.

(I)求证:DA⊥平面ABEF;
(Ⅱ)求证:MN∥平面CDFE;
(Ⅲ)在线段FE上是否存在一点P,使得AP⊥MN? 若存在,求出FP的长;若不存在,请说明理由.
答案
(I)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)存在,
解析

试题分析:(I)由面面垂直的性质定理可直接证得。(Ⅱ)将转化为的中点,利用中位线证,再根据线面平行的判定定理即可证MN∥平面CDFE。(Ⅲ)假设存在点P使AP⊥MN,由(I)易得所以。(Ⅲ)由逆向思维可知只需证得,因为,即可证得AP⊥MN。由相似三角形的相似比即可求得FP。
试题解析:(I)因为为正方形,所以
因为平面, ,,所以.
(Ⅱ)连结

因为的中点,且为矩形,所以也是的中点。因为的中点,所以,因为,所以MN∥平面CDFE。
(Ⅲ)过点交线段于点,则点即为所求。因为ABCD为正方形,所以。因为,所以,因为,所以。因为,且,所以,因为,所以。因为相似,所以,因为,所以
举一反三
如图,正方体的棱长为,动点P在对角线上,过点P作垂直于的平面,记这样得到的截面多边形(含三角形)的周长为y,设x,则当时,函数的值域为(    )
A.B.C.D.

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如图1,矩形中,,,分别为边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结,其中.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)在线段上是否存在点使得平面?若存在,求出点的位置;若不存在,请说明理由.
(Ⅲ)求点到平面的距离.
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如图1,矩形中,,,分别为边上的点,且,,将沿折起至位置(如图2所示),连结,其中.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求直线与平面所成角的正弦值.
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已知长方体,点的中点.

(1)求证:
(2)若,试问在线段上是否存在点使得,若存在求出,若不存在,说明理由.
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如图,在正三棱柱中,分别为的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:平面平面.
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