如图,在三棱锥中,,,°,平面平面,、分别为、中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:;(3)求二面角的大小.
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如图,在三棱锥中,,,°,平面平面,、分别为、中点.(1)求证:∥平面;(2)求证:;(3)求二面角的大小.
题型:不详
难度:
来源:
如图,在三棱锥
中,
,
,
°,平面
平面
,
、
分别为
、
中点.
(1)求证:
∥平面
;
(2)求证:
;
(3)求二面角
的大小.
答案
(1)证明详见解析;(2)证明详见解析;(3)
解析
试题分析:(1)先证DE//BC,根据直线与平面平行的判定定理可证
∥平面
;(2)连结PD,则PD
AB.再证DE
AB.根据直线与平面垂直的判定定理可得AB
平面PDE,所以
;(3)以D为原点,直线AB,DE,DP分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,则
=(1,0,
),
=(0,
,
),求出平面PBE的一个法向量
,由DE
平面PAB,可得平面PAB的一个法向量为
.最后根据向量的夹角公式求解即可.
试题解析:解:(Ⅰ)
D、E分别为AB、AC中点,
DE//BC .
DEË平面PBC,BCÌ平面PBC,
DE//平面PBC . 3分
(Ⅱ)连结PD,
PA=PB,
PD
AB. 4分
,BC
AB,
DE
AB. 5分
又
,
AB
平面PDE 6分
PEÌ平面PDE,
AB
PE . 7分
(Ⅲ)
平面PAB
平面ABC,平面PAB
平面ABC=AB,PD
AB,PD
平面ABC.
8分
如图,以D为原点建立空间直角坐标系
B(1,0,0),P(0,0,
),E(0,
,0) ,
=(1,0,
),
=(0,
,
).
设平面PBE的法向量
,
令
得
. 9分
DE
平面PAB,
平面PAB的法向量为
. 10分
设二面角的
大小为
,
由图知,
,所以
即二面角的
大小为
. 12分
举一反三
设
、
是两条不同的直线,
、
是两个不同的平面.下列四个命题中,正确的是( )
A.
,
,则
B.
,则
C.
,
,则
D.
,
,则
题型:不详
难度:
|
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下列命题中,错误的是 ( )
A.一条直线与两个平行平面中的一个相交,则必与另一个平面相交
B.平行于同一平面的两个不同平面平行
C.如果平面
不垂直平面
,那么平面
内一定不存在直线垂直于平面
D.若直线
不平行平面
,则在平面
内不存在与
平行的直线
题型:不详
难度:
|
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设
表示直线
表示不同的平面,则下列命题中正确的是( )
A.若
且
,则
B.若
且
,则
C.若
且
,则
D.若
且
,则
题型:不详
难度:
|
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如图,在三棱锥
中,
,
,D为AC的中点,
.
(1)求证:平面
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
题型:不详
难度:
|
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设
是两条不同的直线,
是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若
,
则
B.若
,则
C.若
,
则
D.若
则
题型:不详
难度:
|
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