如图三棱锥中,,是等边三角形.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若二面角 的大小为,求与平面所成角的正弦值.

如图三棱锥中,,是等边三角形.(Ⅰ)求证:;(Ⅱ)若二面角 的大小为,求与平面所成角的正弦值.

题型:不详难度:来源:
如图三棱锥中,是等边三角形.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)若二面角 的大小为,求与平面所成角的正弦值.
答案
(I) 详见解析;(II)
解析

试题分析:(I) 求证:,只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面,注意到是等边三角形,可考虑取的中点,连接,只需证即可,显然易证,从而可得;(II)若二面角 的大小为,求与平面所成角的正弦值,首先确定二面角的平面角,由(I)可知,即为二面角的平面角,所以,求与平面所成角的正弦值,关键是找在平面上的射影,注意到平面平面,可过点,则,则与平面所成角,为了便于计算,可设,从而求出与平面所成角的正弦值.
试题解析:(I)取的中点,连接.                 2分
是等边三角形,,              4分
     6分
(II)由(I)及条件知,二面角的平面角为,       8分
过点,由(I)知, 又
,                    10分
与平面所成角,               11分
,则.   14分
举一反三
如图所示,直线垂直于⊙所在的平面,内接于⊙,且为⊙的直径,点为线段的中点.现有结论:①;②平面;③点到平面的距离等于线段的长.其中正确的是(    )
A.①②B.①②③C.①D.②③

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是两个不同的平面,是一条直线,以下命题:
①若,则;②若,则; ③若,则;④若,则;其中正确命题的个数是(  )
A.B.C.D.

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如图,在三棱锥中,平面为侧棱上一点,它的正(主)视图和侧(左)视图如图所示.

(1)证明:平面
(2)在的平分线上确定一点,使得平面,并求此时的长.
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如图,在四棱锥中,平面ABCD,底面ABCD是菱形,.

(1)求证:平面PAC;
(2)若,求所成角的余弦值;
(3)当平面PBC与平面PDC垂直时,求PA的长.
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如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD是直角梯形,DC∥AB,∠BAD=,且AB=2AD=2DC=2PD=4,E为PA的中点.

(1)证明:DE∥平面PBC;
(2)证明:DE⊥平面PAB.
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