试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景考查线面平行的判断和二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量方法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.法一:第一问,先作辅助线,利用中位线证,由中点得,所以得,所以,是平行四边形,得到,所以得出结论面;第二问,先作二面角的平面角,先通过已知证明是二面角的平面角,再证明是直角三角形,在这个直角三角形中求出,再求.法二:(1)先由余弦定理证明,得,由此建系,写出各点坐标,求,求出面的法向量,由得面;(2)先求面的法向量,面的法向量,由公式,由已知二面角为锐角得出结论. 试题解析:(1)取的中点,连,由题意设, 2分 , 是平行四边形,所以 4分 面,面,∴面 6分
(2)取 的中点,连, 8分 是等边三角形,∴,
∴, 是二面角的平面角 10分 知 面,, 在中,, 12分 即二面角的余弦值为 14分
解法二 (1)中,,, 由余弦定理 所以,,所以,, 所以,面面,,∴面, 2分 建系,令 ,
, ..4分 因为平面PAB的法向量 ,∴面, ..6分 (2) 设平面PAD的法向量为 , 8分 10分 令所以 12分 平面的法向量 13分 ,即二面角的余弦值为 14分 |