如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,平面底面,为中点,M是棱PC上的点,.(1)若点M是棱PC的中点,求证:平面;(2)求证:平面底面;(

如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,,平面底面,为中点,M是棱PC上的点,.(1)若点M是棱PC的中点,求证:平面;(2)求证:平面底面;(

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,,平面底面中点,M是棱PC上的点,

(1)若点M是棱PC的中点,求证:平面
(2)求证:平面底面
(3)若二面角M-BQ-C为,设PM=tMC,试确定t的值.
答案
(1)见解析;(2)见解析;(3)3.
解析

试题分析:(1)连接AC,交BQ于N,连接MN,在三角形PAC中,利用中位线定理证明PA//MN,由线线平行得线面平行;(2)证PQ⊥AD,QB⊥AD,由PQ∩BQ=Q,所以AD⊥平面PBQ,再利用线面垂直得面面垂直;(3)先证PQ⊥面ABCD,(注意此步不可省略),再以Q为原点建立空间直角坐标系,写出各点坐标及平面BQC的法向量,并设,利用关系PM=tMC,用坐标表示出来,列方程解出,并得
,从而易得平面MBQ法向量为,再由数量积运算得,可得t值.
试题解析:证明:(1)连接AC,交BQ于N,连接MN.         1分
∵BC∥AD且BC=AD,即BCAQ.∴四边形BCQA为平行四边形,且N为AC中点,
又∵点M是棱PC的中点,∴ MN // PA                             2分
∵ MN平面MQB,PA平面MQB,       3分
∴ PA // 平面MBQ.                    4分
(2)∵AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .   6分
∵∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.
又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,        7分
∴BQ⊥平面PAD.                                    8分
∵BQ平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.                   9分
另证:AD // BC,BC=AD,Q为AD的中点∴ BC // DQ 且BC= DQ, 
∴ 四边形BCDQ为平行四边形,∴CD // BQ .
∵ ∠ADC=90°   ∴∠AQB=90° 即QB⊥AD.           6分
∵ PA=PD, ∴PQ⊥AD.                          7分
∵ PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.                    8分
∵ AD平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.                         9分
(Ⅲ)∵PA=PD,Q为AD的中点, ∴PQ⊥AD.
∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD, ∴PQ⊥平面ABCD.     10分
(不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分)
如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.

则平面BQC的法向量为
.   11分

,∵
,   ∴     ,         12分
在平面MBQ中,
∴ 平面MBQ法向量为.                13分
∵二面角M-BQ-C为30°, ,∴ .  14分
举一反三
在四棱锥中,底面为直角梯形,的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,四棱锥的底面是直角梯形,是两个边长为的正三角形,的中点,的中点.

(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)求证:平面
(Ⅲ)求直线与平面所成角的正弦值.
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是空间两条直线,,是空间两个平面,则下列选项中不正确的是(  )
A.当时,“”是“”的必要不充分条件
B.当时,“”是“”的充分不必要条件
C.当时, “”是“”成立的充要条件
D.当时,“”是“”的充分不必要条件

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已知在四棱锥中,底面是矩形,平面分别是的中点.

(1)求证:平面
(2)求二面角的余弦值.
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如图,在等腰梯形中,是梯形的高,,现将梯形沿折起,使,且,得一简单组合体如图所示,已知分别为的中点.

(1)求证:平面
(2)求证:平面.
题型:不详难度:| 查看答案
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