已知在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,分别是的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.
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已知在四棱锥中,底面是矩形,平面,,,分别是的中点.(1)求证:平面;(2)求二面角的余弦值.
题型:不详
难度:
来源:
已知在四棱锥
中,底面
是矩形,
平面
,
,
,
分别是
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求二面角
的余弦值.
答案
(1)证明过程详见解析;(2)
.
解析
试题分析:本题主要以四棱锥为几何背景,考查线面平行的判定和二面角的求法,可以运用传统几何法,也可以用空间向量方法求解,突出考查空间想象能力和计算能力.第一问,利用线面平行的判定定理,先找出面内的一条线
,利用平行四边形证明
,从而证明线面平行;第二问,用向量法解题,先建立直角坐标系,求出2个平面的法向量,再求夹角.
试题解析: (1)证明:取
的中点
,连结
.
∴
,且
,
又
,∴
.
又
是
的中点,且
,
∴
,∴四边形
是平行四边形.
∴
.
又
平面
,
平面
.
∴
平面
.(6分)
(2)解:以
为原点,如图建立直角坐标系,则
,
,
,
,
,
,
.
设平面
的法向量为
,
,
.
则
可得
,令
,则
.
易得平面
的法向量可为
,
;
如图,易知二面角
的余弦值等于
,即为
. (12分)
举一反三
如图,在等腰梯形
中,
是梯形的高,
,
,现将梯形沿
折起,使
,且
,得一简单组合体
如图所示,已知
分别为
的中点.
(1)求证:
平面
;
(2)求证:
平面
.
题型:不详
难度:
|
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如图,三棱锥
中,
,
(Ⅰ)求证:
;
(Ⅱ)若
,
是
的中点,求
与平面
所成角的正切值
题型:不详
难度:
|
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对于空间的两条直线
,
和一个平面
,下列命题中的真命题是( )
A.若
,
,则
B.若
,
,则
C.若
,
,则
D.若
,
,则
题型:不详
难度:
|
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平面ABC),则下列叙述错误的是( )
A. 平面A′FG⊥平面ABC
B. BC∥平面A′DE
C. 三棱锥A′-DEF的体积最大值为
D. 直线DF与直线A′E不可能共面
题型:不详
难度:
|
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如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE是等腰梯形,BC∥DE,
=45
,O是BC的中点,AO=
,且BC=6,AD=AE=2CD=2
,
(1)证明:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
题型:不详
难度:
|
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