如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE是等腰梯形,BC∥DE, =45 ,O是BC的中点,AO= ,且BC=6,AD=AE=2CD=2 ,(1)证明:

如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE是等腰梯形,BC∥DE, =45 ,O是BC的中点,AO= ,且BC=6,AD=AE=2CD=2 ,(1)证明:

题型:不详难度:来源:
如图,在四棱锥A-BCDE中,底面四边形BCDE是等腰梯形,BC∥DE, =45 ,O是BC的中点,AO= ,且BC=6,AD=AE=2CD=2 ,

(1)证明:AO⊥平面BCD;(2)求二面角A-CD-B的平面角的正切值.
答案
(1)证明详见解析;(2) 
解析

试题分析:(1)根据勾股定理证,即,再证,直线与平面垂直的判定定理即可得证明;

(2)过O点作交CD的延长线于H,根据已知可证二面角A-CD-B的平面角,然后通过解三角形即可求得.
试题解析:(1)易得OC=3,AD=2,连结OD,OE,在∆OCD中,
由余弦定理可得OD= =.
∵AD=2,∴,∴,
同理可证:,又∵,平面BCD , 平面BCD ,∴AO⊥平面BCD;
(2)方法一:过O点作交CD的延长线于H,连结AH,因为AO⊥平面BCD,所以,故为二面角A-CD-B的平面角.
因为OC=3, =45,所以OH= ,从而tan=.

方法二:以O为原点,建立空间直角坐标系O-xyz如图所示.则A(0,0, ),C(0,-3,0),D(1,-2,0),
所以=(0,3,),=(-1,2,).
为平面ACD的一个法向量,则 ,
 解得 ,令x=1,得.
由(1)知,为平面CDB的一个法向量,所以cos< >==,
由A-CD-B为锐二面角,所以二面角A-CD-B的平面角的正切值为 .
举一反三
如图,在四棱锥A-BCDE中,侧面∆ADE是等边三角形,底面BCDE是等腰梯形,且CD∥BE,DE=2,CD=4, ,M是DE的中点,F是AC的中点,且AC=4,

求证:(1)平面ADE⊥平面BCD;
(2)FB∥平面ADE.
题型:不详难度:| 查看答案
如图,三棱锥P ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D,E分别为PB,PC中点

(1)若PA=2,求直线AE与PB所成角的余弦值;
(2)若PA,求证:平面ADE⊥平面PBC
题型:不详难度:| 查看答案
已知如图,平行四边形中,,正方形所在平面与平面垂直,分别是的中点。

⑴求证:平面
⑵求平面与平面所成的二面角的正弦值。
题型:不详难度:| 查看答案
是两条直线,是两个平面,下列能推出的是(          )
A.B.
C.D.

题型:不详难度:| 查看答案
平面外有两条直线,如果在平面内的射影分别是,给出下列四个命题:① ② ③相交相交或重合 ④平行平行或重合,其中不正确的命题的个数是(     )
A.4个B.3个C.2个D. 1

题型:不详难度:| 查看答案
最新试题
热门考点

超级试练试题库

© 2017-2019 超级试练试题库,All Rights Reserved.