设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线.
题型:不详难度:来源:
设点A和B为抛物线y2=4px(p>0)上原点以外的两个动点,已知OA⊥OB,OM⊥AB,求点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线. |
答案
动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点. |
解析
解法一:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x,y) (x≠0)
直线AB的方程为x=my+a 由OM⊥AB,得m=- 由y2=4px及x=my+a,消去x,得y2-4pmy-4pa=0 所以y1y2=-4pa, x1x2= 所以,由OA⊥OB,得x1x2 =-y1y2 所以 故x=my+4p,用m=-代入,得x2+y2-4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点. 解法二:设OA的方程为,代入y2=4px得 则OB的方程为,代入y2=4px得 ∴AB的方程为,过定点, 由OM⊥AB,得M在以ON为直径的圆上(O点除外) 故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点. 解法三: 设M(x,y) (x≠0),OA的方程为, 代入y2=4px得 则OB的方程为,代入y2=4px得 由OM⊥AB,得 M既在以OA为直径的圆:……①上, 又在以OB为直径的圆: ……②上(O点除外), ①+②得x2+y2-4px=0(x≠0) 故动点M的轨迹方程为x2+y2-4px=0(x≠0),它表示以(2p,0)为圆心,以2p为半径的圆,去掉坐标原点. |
举一反三
抛物线y=ax2与直线y=kx+b(k≠0)交于A、B两点,且此两点的横坐标分别为x1,x2,直线与x轴交点的横坐标是x3,则恒有( )A.x3=x1+x2 | B.x1x2=x1x3+x2x3 | C.x1+x2+x3="0" | D.x1x2+x2x3+x3x1=0 |
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若P1(x1,y1),P2(x2,y2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两个不同的点,则是P1P2过抛物线焦点的( )A.充分不必要条件 | B.必要不充分条件 | C.充要条件 | D.既不充分也不必要条件 |
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已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C: y2=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化? (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系? |
如图,以原点O为顶点,以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0,1),点M是直线l:y=m(m<0)上任意一点,过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S,T,切点分别为B,A. (I)求抛物线E的方程; (Ⅱ)求证:点S,T在以FM为直径的圆上; (Ⅲ)当点M在直线l上移动时,直线AB恒过焦点F,求m的值. |
如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为,A、B为直线a上两定点,且|AB|=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段。
(1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的轨迹E; (2)接上问,当△AMN的外心C在E上什么位置时,d+|BC|最小,最小值是多少?(其中d是外心C到直线c的距离). |
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