已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C: y2=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化?(2)当
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已知圆k过定点A(a,0)(a>0),圆心k在抛物线C: y2=2ax上运动,MN为圆k在y轴上截得的弦. (1)试问MN的长是否随圆心k的运动而变化? (2)当|OA|是|OM|与|ON|的等差中项时,抛物线C的准线与圆k有怎样的位置关系? |
答案
(1) 弦MN的长不随圆心k的运动而变化(2) 圆k必与准线相交 |
解析
(1)设圆心k(x0,y0),且y02=2ax0, 圆k的半径R=|AK|= ∴|MN|=2=2a(定值) ∴弦MN的长不随圆心k的运动而变化. (2)设M(0,y1)、N(0,y2)在圆k:(x-x0)2+(y-y0)2=x02+a2中, 令x=0,得y2-2y0y+y02-a2=0,∴y1y2=y02-a2 ∵|OA|是|OM|与|ON|的等差中项. ∴|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a. 又|MN|=|y1-y2|=2a,∴|y1|+|y2|=|y1-y2| ∴y1y2≤0,因此y02-a2≤0,即2ax0-a2≤0 ∴0≤x0≤. 圆心k到抛物线准线距离d=x0+≤a,而圆k半径R=≥a. 且上两式不能同时取等号,故圆k必与准线相交. |
举一反三
如图,以原点O为顶点,以y轴为对称轴的抛物线E的焦点为F(0,1),点M是直线l:y=m(m<0)上任意一点,过点M引抛物线E的两条切线分别交x轴于点S,T,切点分别为B,A. (I)求抛物线E的方程; (Ⅱ)求证:点S,T在以FM为直径的圆上; (Ⅲ)当点M在直线l上移动时,直线AB恒过焦点F,求m的值. |
如图,三条直线a、b、c两两平行,直线a、b间的距离为p,直线b、c间的距离为,A、B为直线a上两定点,且|AB|=2p,MN是在直线b上滑动的长度为2p的线段。
(1)建立适当的平面直角坐标系,求△AMN的外心C的轨迹E; (2)接上问,当△AMN的外心C在E上什么位置时,d+|BC|最小,最小值是多少?(其中d是外心C到直线c的距离). |
直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点且与抛物线有两个交点,对于抛物线上另外两点A、B直线l能否平分线段AB?试证明你的结论. |
若不计空气阻力,炮弹运行轨道是抛物线.现测得我炮位A与炮击目标B在同一水平线上,水平距离为6000米,炮弹运行的最大高度为1200米.试求炮弹的发射角α的正切值和发射初速度v0(重力加速度g=9.8米/秒2). |
如图,是抛物线的焦点,过轴上的动点作直线的垂线.
(Ⅰ)求证:直线与抛物线相切; (Ⅱ)设直线与抛物线相切于点,过点作直线的垂线,垂足为,求线段的长度以及动点的轨迹方程. |
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